Intégrales

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance fractionnaire pour ne plus avoir de racine (car on il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((4x-8)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) :$$ \int -3\sqrt[6]{4x-8} \text{ d}x = \int -3(4x-8)^{\tfrac{1}{6}} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-3(4x-8)^{\tfrac{1}{6}}\).On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(\dfrac{1}{6}\) est un polynôme de degré \(\dfrac{1}{6}+1 = \dfrac{7}{6}\). Prenons simplement comme ansatz \((4x-8)^{\tfrac{7}{6}}\). Sa dérivée est : $$ \left((4x-8)^{\tfrac{7}{6}}\right)' = \dfrac{7}{6}(4x-8)^{\tfrac{1}{6}}\cdot (4x-8)' = \dfrac{7}{6}(4x-8)^{\tfrac{1}{6}}\cdot 4 = \dfrac{14}{3}(4x-8)^{\tfrac{1}{6}}$$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(-3(4x-8)^{\tfrac{1}{6}}\) on obtient \(\dfrac{14}{3}(4x-8)^{\tfrac{1}{6}}\). Par ailleurs, \(\dfrac{14}{3}(4x-8)^{\tfrac{1}{6}}\) est \(\dfrac{14}{3}\) fois plus grand que \((4x-8)^{\tfrac{1}{6}}\) qui est \(-3\) fois plus petit que \(-3(4x-8)^{\tfrac{1}{6}}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(\dfrac{14}{3}\) et de le multiplier par \(-3\). Autrement dit, de le multiplier par : $$-3 : \left(\dfrac{14}{3}\right) = -3 \cdot \left(\dfrac{3}{14}\right) = -\dfrac{9}{14} $$ Ainsi : $$ \int -3(4x-8)^{\tfrac{1}{6}} \text{ d}x = -\dfrac{9}{14}(4x-8)^{\tfrac{7}{6}}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{9}{14}(4x-8)^{\tfrac{7}{6}}+c\right)' = -\dfrac{9}{14}\cdot\left(\dfrac{7}{6} (4x-8)^{\tfrac{1}{6}}\right)\cdot4 = -3(4x-8)^{\tfrac{1}{6}} $$ Pour terminer, on peut réécrire \((4x-8)^{\tfrac{7}{6}}\) ainsi :$$ (4x-8)^{\tfrac{7}{6}} = \left((4x-8)^{7}\right)^{\tfrac{1}{6}} = \sqrt[6]{(4x-8)^{7}}$$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int -3\sqrt[6]{4x-8} \text{ d}x = -\dfrac{9}{14}\sqrt[6]{(4x-8)^{7}}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple