Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(\dfrac{-19}{3x+3}\). On sait que la dérivée de la fonction \(\ln|x|\) est \(\dfrac{1}{x}\), on peut donc prendre comme ansatz \(\ln|3x+3|\) : $$ \left(\ln|3x+3|\right)' = \frac{1}{3x+3} \cdot (3x+3)' = \frac{1}{3x+3} \cdot 3 = \frac{3}{3x+3} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(\dfrac{-19}{3x+3}\) on obtient \(\dfrac{3}{3x+3}\). Par ailleurs, \(\dfrac{3}{3x+3}\) est \(3\) fois plus grand que \(\dfrac{1}{3x+3}\) qui est \(-19\) fois plus petit que \(\dfrac{-19}{3x+3}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(3\) et de le multiplier par \(-19\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-19}{3}\) :$$ \int \dfrac{-19}{3x+3} \text{ d}x = -\dfrac{19}{3}\ln|3x+3|+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{19}{3}\ln|3x+3|+c\right)' = -\dfrac{19}{3}\cdot\dfrac{1}{3x+3}\cdot 3 = \dfrac{-19}{3x+3} $$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{-13}^{-6} \dfrac{-19}{3x+3} \text{ d}x &= \left.-\dfrac{19}{3}\ln|3x+3|+c\right|_{-13}^{-6} \\ &= \left(-\dfrac{19}{3}\ln|3(-6)+3|+c\right) - \left(-\dfrac{19}{3}\ln|3(-13)+3|+c\right) \\ & \cong -17.2-(-22.7)\\ & \cong 5.54 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple