Fractions

Méthode 1 : en décomposant en facteurs premiers

On peut décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers (cf. méthode 3 pour le détail de la décomposition en facteurs premiers, si nécessaire) : $$ \dfrac{81}{45} = \dfrac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 5} $$On peut donc simplifier la fraction par \(3\cdot 3\) : $$ \dfrac{81}{45} = \dfrac{9}{5} $$

Méthode 2 : par simplifications successives

On peut simplifier la fraction par \(3\), ce qui donne : $$ \dfrac{81}{45} = \dfrac{27}{15} $$On peut simplifier la fraction par \(3\), ce qui donne : $$ \dfrac{27}{15} = \dfrac{9}{5} $$\(9\) et \(5\) n'ayant plus aucun diviseur commun, cette fraction est irréductible. Ainsi : $$ \dfrac{81}{45} = \dfrac{9}{5} $$

Méthode 3 : en trouvant le PGDC

On peut décomposer 81 en facteurs premiers : $$ \begin{array}{r|r} 81 & 3 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ \end{array} $$ Ainsi : $$ 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81 $$On peut décomposer 45 en facteurs premiers : $$ \begin{array}{r|r} 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ \end{array} $$ Ainsi : $$ 3\cdot 3\cdot 5 = 45 $$Le PGDC est donc l'ensemble des facteurs qui apparaissent dans les deux décompositions (puisque le PGDC doit diviser les deux nombres), soit : $$ 3\cdot 3 = 9 $$ On peut donc simplifier la fraction par \(9\) ce qui donne : $$ \dfrac{81}{45} = \dfrac{9}{5} $$

Nouvel exemple