Fractions

Méthode 1 : en décomposant en facteurs premiers

On peut décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers (cf. méthode 3 pour le détail de la décomposition en facteurs premiers, si nécessaire) : $$ \dfrac{126}{54} = \dfrac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 3\cdot 3} $$On peut donc simplifier la fraction par \(2\cdot 3\cdot 3\) : $$ \dfrac{126}{54} = \dfrac{7}{3} $$

Méthode 2 : par simplifications successives

On peut simplifier la fraction par \(2\), ce qui donne : $$ \dfrac{126}{54} = \dfrac{63}{27} $$On peut simplifier la fraction par \(3\), ce qui donne : $$ \dfrac{63}{27} = \dfrac{21}{9} $$On peut simplifier la fraction par \(3\), ce qui donne : $$ \dfrac{21}{9} = \dfrac{7}{3} $$\(7\) et \(3\) n'ayant plus aucun diviseur commun, cette fraction est irréductible. Ainsi : $$ \dfrac{126}{54} = \dfrac{7}{3} $$

Méthode 3 : en trouvant le PGDC

On peut décomposer 126 en facteurs premiers : $$ \begin{array}{r|r} 126 & 2 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ \end{array} $$ Ainsi : $$ 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7 = 126 $$On peut décomposer 54 en facteurs premiers : $$ \begin{array}{r|r} 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ \end{array} $$ Ainsi : $$ 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 54 $$Le PGDC est donc l'ensemble des facteurs qui apparaissent dans les deux décompositions (puisque le PGDC doit diviser les deux nombres), soit : $$ 2\cdot 3\cdot 3 = 18 $$ On peut donc simplifier la fraction par \(18\) ce qui donne : $$ \dfrac{126}{54} = \dfrac{7}{3} $$

Nouvel exemple