Déterminer les primitives d'une fonction élémentaire (ou proportionnelle à une fonction élémentaire) dont l'argument est une fonction affine de la variable. Calculer les primitives suivantes :$$ \int \dfrac{-4}{-3x-9} \text{ d}x $$
On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(\dfrac{-4}{-3x-9}\). On sait que la dérivée de la fonction \(\ln|x|\) est \(\dfrac{1}{x}\), on peut donc prendre comme ansatz \(\ln|-3x-9|\) : $$ \left(\ln|-3x-9|\right)' = \frac{1}{-3x-9} \cdot (-3x-9)' = \frac{1}{-3x-9} \cdot (-3) = \frac{-3}{-3x-9} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(\dfrac{-4}{-3x-9}\) on obtient \(\dfrac{-3}{-3x-9}\). Par ailleurs, \(\dfrac{-3}{-3x-9}\) est \(-3\) fois plus grand que \(\dfrac{1}{-3x-9}\) qui est \(-4\) fois plus petit que \(\dfrac{-4}{-3x-9}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-3\) et de le multiplier par \(-4\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-4}{-3}=\dfrac{4}{3}\) :$$ \int \dfrac{-4}{-3x-9} \text{ d}x = \dfrac{4}{3}\ln|-3x-9|+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{4}{3}\ln|-3x-9|+c\right)' = \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{-3x-9}\cdot (-3) = \dfrac{-4}{-3x-9} $$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int \dfrac{-4}{-3x-9} \text{ d}x = \dfrac{4}{3}\ln|-3x-9|+c,\forall c\in\mathbb{R} $$
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