Intégrales

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance négative pour ne plus avoir de fraction (car il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((-x-3)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) : $$ \int \dfrac{-7}{(-x-3)^{10}} \text{ d}x = \int -7(-x-3)^{-10} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-7(-x-3)^{-10}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(-10\) est un polynôme de degré \(-9\). Prenons simplement comme ansatz \((-x-3)^{-9}\). Sa dérivée est : $$ \left((-x-3)^{-9}\right)' = -9(-x-3)^{-10} \cdot (-x-3)' = -9(-x-3)^{-10} \cdot (-1) = 9(-x-3)^{-10} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(-7(-x-3)^{-10}\) on obtient \(9 (-x-3)^{-10}\). Par ailleurs, \(9 (-x-3)^{-10}\) est \(9\) fois plus grand que \((-x-3)^{-10}\) qui est \(-7\) fois plus petit que \(-7(-x-3)^{-10}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(9\) et de le multiplier par \(-7\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-7}{9}\) :$$ \int -7(-x-3)^{-10} \text{ d}x = -\dfrac{7}{9}(-x-3)^{-9}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{7}{9}(-x-3)^{-9}+c\right)' = -\dfrac{7}{9}\cdot\left(-9 (-x-3)^{-10}\right)\cdot (-1) = -7(-x-3)^{-10} $$Dans la mesure où \((-x-3)^{-9} = \dfrac{1}{(-x-3)^{9}}\), on peut finalement réécrire notre expression sans plus de puissance négative. Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int \dfrac{-7}{(-x-3)^{10}} \text{ d}x = \dfrac{-7}{9(-x-3)^{9}}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple