Intégrales

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-12(-8x-2)^{6}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(6\) est un polynôme de degré \(7\). Prenons simplement comme ansatz \((-8x-2)^{7}\). Sa dérivée est : $$ \left((-8x-2)^{7}\right)' = 7(-8x-2)^{6} \cdot (-8x-2)' = 7(-8x-2)^{6} \cdot (-8) = -56(-8x-2)^{6} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(-12(-8x-2)^{6}\) on obtient \(-56 (-8x-2)^{6}\). Par ailleurs, \(-56 (-8x-2)^{6}\) est \(-56\) fois plus grand que \((-8x-2)^{6}\) qui est \(-12\) fois plus petit que \(-12(-8x-2)^{6}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-56\) et de le multiplier par \(-12\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-12}{-56}=\dfrac{3}{14}\) :$$ \int -12(-8x-2)^{6} \text{ d}x = \dfrac{3}{14}(-8x-2)^{7}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{3}{14}(-8x-2)^{7}+c\right)' = \dfrac{3}{14}\cdot\left(7 (-8x-2)^{6}\right)\cdot (-8) = -12(-8x-2)^{6} $$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int -12(-8x-2)^{6} \text{ d}x = \dfrac{3}{14}(-8x-2)^{7}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple