Déterminer les primitives d'une fonction élémentaire (ou proportionnelle à une fonction élémentaire) dont l'argument est une fonction affine de la variable. Calculer les primitives suivantes :$$ \int -11\cos(-3x+8) \text{ d}x $$
On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-11\cos(-3x+8)\). Voici un petit rappel sur les dérivées des fonctions trigonométriques : $$ \left(\sin(x)\right)' = \cos(x) \quad\Rightarrow \quad \int \cos(x) \text{ d}x = \sin(x) $$ $$ \left(\cos(x)\right)' = -\sin(x) \quad\Rightarrow \quad \int -\sin(x) \text{ d}x = \cos(x) $$ ce qui implique que nous pouvons prendre comme ansatz une fonction du type \(\sin(-3x+8)\) : $$ \left(\sin(-3x+8)\right)' = \cos(-3x+8) \cdot (-3x+8)' = -3\cos(-3x+8) $$ On en déduit (c'est le même principe que toutes les autres fonctions, je vous laisse faire les détails par vous-même cette fois-ci !) : $$ \int -11\cos(-3x+8) \text{ d}x = \dfrac{11}{3}\sin(-3x+8)+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{11}{3}\sin(-3x+8)+c\right)' = -11\cos(-3x+8) $$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int -11\cos(-3x+8) \text{ d}x = \dfrac{11}{3}\sin(-3x+8)+c,\forall c\in\mathbb{R} $$
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