Intégrales

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(\dfrac{-13}{8x+9}\). On sait que la dérivée de la fonction \(\ln|x|\) est \(\dfrac{1}{x}\), on peut donc prendre comme ansatz \(\ln|8x+9|\) : $$ \left(\ln|8x+9|\right)' = \frac{1}{8x+9} \cdot (8x+9)' = \frac{1}{8x+9} \cdot 8 = \frac{8}{8x+9} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(\dfrac{-13}{8x+9}\) on obtient \(\dfrac{8}{8x+9}\). Par ailleurs, \(\dfrac{8}{8x+9}\) est \(8\) fois plus grand que \(\dfrac{1}{8x+9}\) qui est \(-13\) fois plus petit que \(\dfrac{-13}{8x+9}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(8\) et de le multiplier par \(-13\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-13}{8}\) :$$ \int \dfrac{-13}{8x+9} \text{ d}x = -\dfrac{13}{8}\ln|8x+9|+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{13}{8}\ln|8x+9|+c\right)' = -\dfrac{13}{8}\cdot\dfrac{1}{8x+9}\cdot 8 = \dfrac{-13}{8x+9} $$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int \dfrac{-13}{8x+9} \text{ d}x = -\dfrac{13}{8}\ln|8x+9|+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple