Déterminer les primitives d'une fonction élémentaire (ou proportionnelle à une fonction élémentaire) dont l'argument est une fonction affine de la variable. Calculer les primitives suivantes :$$ \int 9e^{-9x+8} \text{ d}x $$
On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(9e^{-9x+8}\). On sait que la dérivée de la fonction \(e^x\) est elle-même, ainsi on peut prendre comme ansatz \(e^{-9x+8}\) : $$ \left(e^{-9x+8}\right)' = e^{-9x+8} \cdot (-9x+8)' = e^{-9x+8} \cdot (-9) = -9e^{-9x+8} $$Comme notre ansatz donne directement la bonne réponse au signe prêt, on en déduit que : $$ \int 9e^{-9x+8} \text{ d}x = -e^{-9x+8}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-e^{-9x+8}+c\right)' = -e^{-9x+8} \cdot (-9x+8)' = 9e^{-9x+8} $$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int 9e^{-9x+8} \text{ d}x = -e^{-9x+8}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$
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