Intégrales

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance fractionnaire pour ne plus avoir de racine (car on il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((7x-4)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) :$$ \int 7\sqrt[9]{7x-4} \text{ d}x = \int 7(7x-4)^{\tfrac{1}{9}} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(7(7x-4)^{\tfrac{1}{9}}\).On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(\dfrac{1}{9}\) est un polynôme de degré \(\dfrac{1}{9}+1 = \dfrac{10}{9}\). Prenons simplement comme ansatz \((7x-4)^{\tfrac{10}{9}}\). Sa dérivée est : $$ \left((7x-4)^{\tfrac{10}{9}}\right)' = \dfrac{10}{9}(7x-4)^{\tfrac{1}{9}}\cdot (7x-4)' = \dfrac{10}{9}(7x-4)^{\tfrac{1}{9}}\cdot 7 = \dfrac{70}{9}(7x-4)^{\tfrac{1}{9}}$$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(7(7x-4)^{\tfrac{1}{9}}\) on obtient \(\dfrac{70}{9}(7x-4)^{\tfrac{1}{9}}\). Par ailleurs, \(\dfrac{70}{9}(7x-4)^{\tfrac{1}{9}}\) est \(\dfrac{70}{9}\) fois plus grand que \((7x-4)^{\tfrac{1}{9}}\) qui est \(7\) fois plus petit que \(7(7x-4)^{\tfrac{1}{9}}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(\dfrac{70}{9}\) et de le multiplier par \(7\). Autrement dit, de le multiplier par : $$7 : \left(\dfrac{70}{9}\right) = 7 \cdot \left(\dfrac{9}{70}\right) = \dfrac{9}{10} $$ Ainsi : $$ \int 7(7x-4)^{\tfrac{1}{9}} \text{ d}x = \dfrac{9}{10}(7x-4)^{\tfrac{10}{9}}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{9}{10}(7x-4)^{\tfrac{10}{9}}+c\right)' = \dfrac{9}{10}\cdot\left(\dfrac{10}{9} (7x-4)^{\tfrac{1}{9}}\right)\cdot7 = 7(7x-4)^{\tfrac{1}{9}} $$ Pour terminer, on peut réécrire \((7x-4)^{\tfrac{10}{9}}\) ainsi :$$ (7x-4)^{\tfrac{10}{9}} = \left((7x-4)^{10}\right)^{\tfrac{1}{9}} = \sqrt[9]{(7x-4)^{10}}$$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int 7\sqrt[9]{7x-4} \text{ d}x = \dfrac{9}{10}\sqrt[9]{(7x-4)^{10}}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple