Intégrales

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance négative pour ne plus avoir de fraction (car il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((-4x+8)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) : $$ \int \dfrac{13}{(-4x+8)^{6}} \text{ d}x = \int 13(-4x+8)^{-6} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(13(-4x+8)^{-6}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(-6\) est un polynôme de degré \(-5\). Prenons simplement comme ansatz \((-4x+8)^{-5}\). Sa dérivée est : $$ \left((-4x+8)^{-5}\right)' = -5(-4x+8)^{-6} \cdot (-4x+8)' = -5(-4x+8)^{-6} \cdot (-4) = 20(-4x+8)^{-6} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(13(-4x+8)^{-6}\) on obtient \(20 (-4x+8)^{-6}\). Par ailleurs, \(20 (-4x+8)^{-6}\) est \(20\) fois plus grand que \((-4x+8)^{-6}\) qui est \(13\) fois plus petit que \(13(-4x+8)^{-6}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(20\) et de le multiplier par \(13\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{13}{20}\) :$$ \int 13(-4x+8)^{-6} \text{ d}x = \dfrac{13}{20}(-4x+8)^{-5}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{13}{20}(-4x+8)^{-5}+c\right)' = \dfrac{13}{20}\cdot\left(-5 (-4x+8)^{-6}\right)\cdot (-4) = 13(-4x+8)^{-6} $$Dans la mesure où \((-4x+8)^{-5} = \dfrac{1}{(-4x+8)^{5}}\), on peut finalement réécrire notre expression sans plus de puissance négative. Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int \dfrac{13}{(-4x+8)^{6}} \text{ d}x = \dfrac{13}{20(-4x+8)^{5}}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple