Intégrales

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance négative pour ne plus avoir de fraction (car il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((8x+3)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) : $$ \int \dfrac{20}{(8x+3)^{3}} \text{ d}x = \int 20(8x+3)^{-3} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(20(8x+3)^{-3}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(-3\) est un polynôme de degré \(-2\). Prenons simplement comme ansatz \((8x+3)^{-2}\). Sa dérivée est : $$ \left((8x+3)^{-2}\right)' = -2(8x+3)^{-3} \cdot (8x+3)' = -2(8x+3)^{-3} \cdot 8 = -16(8x+3)^{-3} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(20(8x+3)^{-3}\) on obtient \(-16 (8x+3)^{-3}\). Par ailleurs, \(-16 (8x+3)^{-3}\) est \(-16\) fois plus grand que \((8x+3)^{-3}\) qui est \(20\) fois plus petit que \(20(8x+3)^{-3}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-16\) et de le multiplier par \(20\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{20}{-16}=-\dfrac{5}{4}\) :$$ \int 20(8x+3)^{-3} \text{ d}x = -\dfrac{5}{4}(8x+3)^{-2}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{5}{4}(8x+3)^{-2}+c\right)' = -\dfrac{5}{4}\cdot\left(-2 (8x+3)^{-3}\right)\cdot 8 = 20(8x+3)^{-3} $$Dans la mesure où \((8x+3)^{-2} = \dfrac{1}{(8x+3)^{2}}\), on peut finalement réécrire notre expression sans plus de puissance négative. Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int \dfrac{20}{(8x+3)^{3}} \text{ d}x = \dfrac{-5}{4(8x+3)^{2}}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple