Intégrales

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(\dfrac{19}{-2x+8}\). On sait que la dérivée de la fonction \(\ln|x|\) est \(\dfrac{1}{x}\), on peut donc prendre comme ansatz \(\ln|-2x+8|\) : $$ \left(\ln|-2x+8|\right)' = \frac{1}{-2x+8} \cdot (-2x+8)' = \frac{1}{-2x+8} \cdot (-2) = \frac{-2}{-2x+8} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(\dfrac{19}{-2x+8}\) on obtient \(\dfrac{-2}{-2x+8}\). Par ailleurs, \(\dfrac{-2}{-2x+8}\) est \(-2\) fois plus grand que \(\dfrac{1}{-2x+8}\) qui est \(19\) fois plus petit que \(\dfrac{19}{-2x+8}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-2\) et de le multiplier par \(19\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{19}{-2}\) :$$ \int \dfrac{19}{-2x+8} \text{ d}x = -\dfrac{19}{2}\ln|-2x+8|+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{19}{2}\ln|-2x+8|+c\right)' = -\dfrac{19}{2}\cdot\dfrac{1}{-2x+8}\cdot (-2) = \dfrac{19}{-2x+8} $$Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int \dfrac{19}{-2x+8} \text{ d}x = -\dfrac{19}{2}\ln|-2x+8|+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple