Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-15(2x-3)^{}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(1\) est un polynôme de degré \(2\). Prenons simplement comme ansatz \((2x-3)^{2}\). Sa dérivée est : $$ \left((2x-3)^{2}\right)' = 2(2x-3)^{} \cdot (2x-3)' = 2(2x-3)^{} \cdot 2 = 4(2x-3)^{} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(-15(2x-3)^{}\) on obtient \(4 (2x-3)^{}\). Par ailleurs, \(4 (2x-3)^{}\) est \(4\) fois plus grand que \((2x-3)^{}\) qui est \(-15\) fois plus petit que \(-15(2x-3)^{}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(4\) et de le multiplier par \(-15\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-15}{4}\) :$$ \int -15(2x-3)^{} \text{ d}x = -\dfrac{15}{4}(2x-3)^{2}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{15}{4}(2x-3)^{2}+c\right)' = -\dfrac{15}{4}\cdot\left(2 (2x-3)^{}\right)\cdot 2 = -15(2x-3)^{} $$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{-6}^{1} -15(2x-3)^{} \text{ d}x &= \left.-\dfrac{15}{4}(2x-3)^{2}+c\right|_{-6}^{1} \\ &= \left(-\dfrac{15}{4}(2(1)-3)^{2}+c\right) - \left(-\dfrac{15}{4}(2(-6)-3)^{2}+c\right) \\ & = -3.75-(-844)\\ & = 840 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple