Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance fractionnaire pour ne plus avoir de racine (car on il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((3x+1)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) :$$ \int \dfrac{2}{\sqrt[5]{3x+1}} \text{ d}x = \int \dfrac{2}{(3x+1)^{\tfrac{1}{5}}} \text{ d}x $$ et réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance fractionnaire négative pour ne plus avoir de fraction :$$ \int \dfrac{2}{\sqrt[5]{3x+1}} \text{ d}x = \int 2(3x+1)^{-\tfrac{1}{5}} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(2(3x+1)^{-\tfrac{1}{5}}\).On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(-\dfrac{1}{5}\) est un polynôme de degré \(-\dfrac{1}{5}+1 = \dfrac{4}{5}\). Prenons simplement comme ansatz \((3x+1)^{\tfrac{4}{5}}\). Sa dérivée est : $$ \left((3x+1)^{\tfrac{4}{5}}\right)' = \dfrac{4}{5}(3x+1)^{-\tfrac{1}{5}}\cdot (3x+1)' = \dfrac{4}{5}(3x+1)^{-\tfrac{1}{5}}\cdot 3 = \dfrac{12}{5}(3x+1)^{-\tfrac{1}{5}}$$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(2(3x+1)^{-\tfrac{1}{5}}\) on obtient \(\dfrac{12}{5}(3x+1)^{-\tfrac{1}{5}}\). Par ailleurs, \(\dfrac{12}{5}(3x+1)^{-\tfrac{1}{5}}\) est \(\dfrac{12}{5}\) fois plus grand que \((3x+1)^{-\tfrac{1}{5}}\) qui est \(2\) fois plus petit que \(2(3x+1)^{-\tfrac{1}{5}}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(\dfrac{12}{5}\) et de le multiplier par \(2\). Autrement dit, de le multiplier par : $$2 : \left(\dfrac{12}{5}\right) = 2 \cdot \left(\dfrac{5}{12}\right) = \dfrac{5}{6} $$ Ainsi : $$ \int 2(3x+1)^{-\tfrac{1}{5}} \text{ d}x = \dfrac{5}{6}(3x+1)^{\tfrac{4}{5}}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{5}{6}(3x+1)^{\tfrac{4}{5}}+c\right)' = \dfrac{5}{6}\cdot\left(\dfrac{4}{5} (3x+1)^{-\tfrac{1}{5}}\right)\cdot3 = 2(3x+1)^{-\tfrac{1}{5}} $$ Pour terminer, on peut réécrire \((3x+1)^{\tfrac{4}{5}}\) ainsi :$$ (3x+1)^{\tfrac{4}{5}} = \left((3x+1)^{4}\right)^{\tfrac{1}{5}} = \sqrt[5]{(3x+1)^{4}}$$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{4}^{6} \dfrac{2}{\sqrt[5]{3x+1}} \text{ d}x &= \left.\dfrac{5}{6}\sqrt[5]{(3x+1)^{4}}+c\right|_{4}^{6} \\ &= \left(\dfrac{5}{6}\sqrt[5]{(3(6)+1)^{4}}+c\right) - \left(\dfrac{5}{6}\sqrt[5]{(3(4)+1)^{4}}+c\right) \\ & \cong 8.79-6.49\\ & \cong 2.3 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple