Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(14(3x-1)^{3}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(3\) est un polynôme de degré \(4\). Prenons simplement comme ansatz \((3x-1)^{4}\). Sa dérivée est : $$ \left((3x-1)^{4}\right)' = 4(3x-1)^{3} \cdot (3x-1)' = 4(3x-1)^{3} \cdot 3 = 12(3x-1)^{3} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(14(3x-1)^{3}\) on obtient \(12 (3x-1)^{3}\). Par ailleurs, \(12 (3x-1)^{3}\) est \(12\) fois plus grand que \((3x-1)^{3}\) qui est \(14\) fois plus petit que \(14(3x-1)^{3}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(12\) et de le multiplier par \(14\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{14}{12}=\dfrac{7}{6}\) :$$ \int 14(3x-1)^{3} \text{ d}x = \dfrac{7}{6}(3x-1)^{4}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{7}{6}(3x-1)^{4}+c\right)' = \dfrac{7}{6}\cdot\left(4 (3x-1)^{3}\right)\cdot 3 = 14(3x-1)^{3} $$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{-1}^{11} 14(3x-1)^{3} \text{ d}x &= \left.\dfrac{7}{6}(3x-1)^{4}+c\right|_{-1}^{11} \\ &= \left(\dfrac{7}{6}(3(11)-1)^{4}+c\right) - \left(\dfrac{7}{6}(3(-1)-1)^{4}+c\right) \\ & = 1223339-299\\ & = 1223040 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple