Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(\dfrac{-2}{-2x+1}\). On sait que la dérivée de la fonction \(\ln|x|\) est \(\dfrac{1}{x}\), on peut donc prendre comme ansatz \(\ln|-2x+1|\) : $$ \left(\ln|-2x+1|\right)' = \frac{1}{-2x+1} \cdot (-2x+1)' = \frac{1}{-2x+1} \cdot (-2) = \frac{-2}{-2x+1} $$Comme notre ansatz donne directement la bonne réponse, on en déduit que : $$ \int \dfrac{-2}{-2x+1} \text{ d}x = \ln|-2x+1|+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\ln|-2x+1|+c\right)' = \frac{1}{-2x+1} \cdot (-2x+1)' = \frac{-2}{-2x+1} $$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{-8}^{-4} \dfrac{-2}{-2x+1} \text{ d}x &= \left.\ln|-2x+1|+c\right|_{-8}^{-4} \\ &= \left(\ln|-2(-4)+1|+c\right) - \left(\ln|-2(-8)+1|+c\right) \\ & \cong 2.2-2.83\\ & \cong -0.636 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple