Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance négative pour ne plus avoir de fraction (car il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((3x+2)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) : $$ \int \dfrac{-8}{(3x+2)^{3}} \text{ d}x = \int -8(3x+2)^{-3} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-8(3x+2)^{-3}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(-3\) est un polynôme de degré \(-2\). Prenons simplement comme ansatz \((3x+2)^{-2}\). Sa dérivée est : $$ \left((3x+2)^{-2}\right)' = -2(3x+2)^{-3} \cdot (3x+2)' = -2(3x+2)^{-3} \cdot 3 = -6(3x+2)^{-3} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(-8(3x+2)^{-3}\) on obtient \(-6 (3x+2)^{-3}\). Par ailleurs, \(-6 (3x+2)^{-3}\) est \(-6\) fois plus grand que \((3x+2)^{-3}\) qui est \(-8\) fois plus petit que \(-8(3x+2)^{-3}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-6\) et de le multiplier par \(-8\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-8}{-6}=\dfrac{4}{3}\) :$$ \int -8(3x+2)^{-3} \text{ d}x = \dfrac{4}{3}(3x+2)^{-2}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{4}{3}(3x+2)^{-2}+c\right)' = \dfrac{4}{3}\cdot\left(-2 (3x+2)^{-3}\right)\cdot 3 = -8(3x+2)^{-3} $$Dans la mesure où \((3x+2)^{-2} = \dfrac{1}{(3x+2)^{2}}\), on peut finalement réécrire notre expression sans plus de puissance négative.

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{-5}^{-4} \dfrac{-8}{(3x+2)^{3}} \text{ d}x &= \left.\dfrac{4}{3(3x+2)^{2}}+c\right|_{-5}^{-4} \\ &= \left(\dfrac{4}{3(3(-4)+2)^{2}}+c\right) - \left(\dfrac{4}{3(3(-5)+2)^{2}}+c\right) \\ & \cong 0.0133-0.00789\\ & \cong 0.00544 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple