Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(\dfrac{-14}{-3x+3}\). On sait que la dérivée de la fonction \(\ln|x|\) est \(\dfrac{1}{x}\), on peut donc prendre comme ansatz \(\ln|-3x+3|\) : $$ \left(\ln|-3x+3|\right)' = \frac{1}{-3x+3} \cdot (-3x+3)' = \frac{1}{-3x+3} \cdot (-3) = \frac{-3}{-3x+3} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(\dfrac{-14}{-3x+3}\) on obtient \(\dfrac{-3}{-3x+3}\). Par ailleurs, \(\dfrac{-3}{-3x+3}\) est \(-3\) fois plus grand que \(\dfrac{1}{-3x+3}\) qui est \(-14\) fois plus petit que \(\dfrac{-14}{-3x+3}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-3\) et de le multiplier par \(-14\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-14}{-3}=\dfrac{14}{3}\) :$$ \int \dfrac{-14}{-3x+3} \text{ d}x = \dfrac{14}{3}\ln|-3x+3|+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{14}{3}\ln|-3x+3|+c\right)' = \dfrac{14}{3}\cdot\dfrac{1}{-3x+3}\cdot (-3) = \dfrac{-14}{-3x+3} $$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{3}^{5} \dfrac{-14}{-3x+3} \text{ d}x &= \left.\dfrac{14}{3}\ln|-3x+3|+c\right|_{3}^{5} \\ &= \left(\dfrac{14}{3}\ln|-3(5)+3|+c\right) - \left(\dfrac{14}{3}\ln|-3(3)+3|+c\right) \\ & \cong 11.6-8.36\\ & \cong 3.23 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple