Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance négative pour ne plus avoir de fraction (car il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((2x+2)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) : $$ \int \dfrac{6}{(2x+2)^{2}} \text{ d}x = \int 6(2x+2)^{-2} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(6(2x+2)^{-2}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(-2\) est un polynôme de degré \(-1\). Prenons simplement comme ansatz \((2x+2)^{-1}\). Sa dérivée est : $$ \left((2x+2)^{-1}\right)' = -(2x+2)^{-2} \cdot (2x+2)' = -(2x+2)^{-2} \cdot 2 = -2(2x+2)^{-2} $$On remarque que le résultat obtenu est exactement \(-3\) fois trop petit. Il suffit donc de multiplier notre ansatz par \(-3\) :$$ \int 6(2x+2)^{-2} \text{ d}x = -3(2x+2)^{-1}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-3(2x+2)^{-1}+c\right)' = -3\cdot\left(-1 (2x+2)^{-2}\right)\cdot 2 = 6(2x+2)^{-2} $$Dans la mesure où \((2x+2)^{-1} = \dfrac{1}{(2x+2)^{}}\), on peut finalement réécrire notre expression sans plus de puissance négative.

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{-4}^{-3} \dfrac{6}{(2x+2)^{2}} \text{ d}x &= \left.\dfrac{-3}{(2x+2)^{}}+c\right|_{-4}^{-3} \\ &= \left(\dfrac{-3}{(2(-3)+2)^{}}+c\right) - \left(\dfrac{-3}{(2(-4)+2)^{}}+c\right) \\ & = 0.75-0.5\\ & = 0.25 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple