Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance négative pour ne plus avoir de fraction (car il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((-3x-3)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) : $$ \int \dfrac{15}{(-3x-3)^{2}} \text{ d}x = \int 15(-3x-3)^{-2} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(15(-3x-3)^{-2}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(-2\) est un polynôme de degré \(-1\). Prenons simplement comme ansatz \((-3x-3)^{-1}\). Sa dérivée est : $$ \left((-3x-3)^{-1}\right)' = -(-3x-3)^{-2} \cdot (-3x-3)' = -(-3x-3)^{-2} \cdot (-3) = 3(-3x-3)^{-2} $$On remarque que le résultat obtenu est exactement \(5\) fois trop petit. Il suffit donc de multiplier notre ansatz par \(5\) :$$ \int 15(-3x-3)^{-2} \text{ d}x = 5(-3x-3)^{-1}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(5(-3x-3)^{-1}+c\right)' = 5\cdot\left(-1 (-3x-3)^{-2}\right)\cdot (-3) = 15(-3x-3)^{-2} $$Dans la mesure où \((-3x-3)^{-1} = \dfrac{1}{(-3x-3)^{}}\), on peut finalement réécrire notre expression sans plus de puissance négative.

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{5}^{6} \dfrac{15}{(-3x-3)^{2}} \text{ d}x &= \left.\dfrac{5}{(-3x-3)^{}}+c\right|_{5}^{6} \\ &= \left(\dfrac{5}{(-3(6)-3)^{}}+c\right) - \left(\dfrac{5}{(-3(5)-3)^{}}+c\right) \\ & \cong -0.238-(-0.278)\\ & \cong 0.0397 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple