Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance fractionnaire pour ne plus avoir de racine (car on il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((-2x+3)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) :$$ \int -\sqrt[7]{-2x+3} \text{ d}x = \int -(-2x+3)^{\tfrac{1}{7}} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-(-2x+3)^{\tfrac{1}{7}}\).On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(\dfrac{1}{7}\) est un polynôme de degré \(\dfrac{1}{7}+1 = \dfrac{8}{7}\). Prenons simplement comme ansatz \((-2x+3)^{\tfrac{8}{7}}\). Sa dérivée est : $$ \left((-2x+3)^{\tfrac{8}{7}}\right)' = \dfrac{8}{7}(-2x+3)^{\tfrac{1}{7}}\cdot (-2x+3)' = \dfrac{8}{7}(-2x+3)^{\tfrac{1}{7}}\cdot (-2) = -\dfrac{16}{7}(-2x+3)^{\tfrac{1}{7}}$$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(-(-2x+3)^{\tfrac{1}{7}}\) on obtient \(-\dfrac{16}{7}(-2x+3)^{\tfrac{1}{7}}\). Par ailleurs, \(-\dfrac{16}{7}(-2x+3)^{\tfrac{1}{7}}\) est \(-\dfrac{16}{7}\) fois plus grand que \((-2x+3)^{\tfrac{1}{7}}\) qui est \(-1\) fois plus petit que \(-(-2x+3)^{\tfrac{1}{7}}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-\dfrac{16}{7}\) et de le multiplier par \(-1\). Autrement dit, de le multiplier par : $$-1 : \left(-\dfrac{16}{7}\right) = -1 \cdot \left(-\dfrac{7}{16}\right) = \dfrac{7}{16} $$ Ainsi : $$ \int -(-2x+3)^{\tfrac{1}{7}} \text{ d}x = \dfrac{7}{16}(-2x+3)^{\tfrac{8}{7}}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{7}{16}(-2x+3)^{\tfrac{8}{7}}+c\right)' = \dfrac{7}{16}\cdot\left(\dfrac{8}{7} (-2x+3)^{\tfrac{1}{7}}\right)\cdot(-2) = -(-2x+3)^{\tfrac{1}{7}} $$ Pour terminer, on peut réécrire \((-2x+3)^{\tfrac{8}{7}}\) ainsi :$$ (-2x+3)^{\tfrac{8}{7}} = \left((-2x+3)^{8}\right)^{\tfrac{1}{7}} = \sqrt[7]{(-2x+3)^{8}}$$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{-11}^{-9} -\sqrt[7]{-2x+3} \text{ d}x &= \left.\dfrac{7}{16}\sqrt[7]{(-2x+3)^{8}}+c\right|_{-11}^{-9} \\ &= \left(\dfrac{7}{16}\sqrt[7]{(-2(-9)+3)^{8}}+c\right) - \left(\dfrac{7}{16}\sqrt[7]{(-2(-11)+3)^{8}}+c\right) \\ & \cong 14.2-17.3\\ & \cong -3.13 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple