Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(e^{-x-1}\). On sait que la dérivée de la fonction \(e^x\) est elle-même, ainsi on peut prendre comme ansatz \(e^{-x-1}\) : $$ \left(e^{-x-1}\right)' = e^{-x-1} \cdot (-x-1)' = e^{-x-1} \cdot (-1) = -e^{-x-1} $$Comme notre ansatz donne directement la bonne réponse au signe prêt, on en déduit que : $$ \int e^{-x-1} \text{ d}x = -e^{-x-1}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-e^{-x-1}+c\right)' = -e^{-x-1} \cdot (-x-1)' = e^{-x-1} $$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{0}^{1} e^{-x-1} \text{ d}x &= \left.-e^{-x-1}+c\right|_{0}^{1} \\ &= \left(-e^{-(1)-1}+c\right) - \left(-e^{-(0)-1}+c\right) \\ & \cong -0.135-(-0.368)\\ & \cong 0.233 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple