Cinématique

On peut structurer le raisonnement ainsi :

1. Schéma
La notation suivante est utilisée :
• Toutes les grandeurs ayant A dans l'indice se rapportent au coureur, celles ayant B dans l'indice se rapportent à la camionnette et celles n'ayant ni A, ni B dans l'incide se rapportent simultanément aux deux.
• Toutes les grandeurs ayant 0 dans l'indice se rapportent au moment initial, celles ayant une croix (\(\times\)) dans l'indice se rapportent au moment du croisement et celles qui n'auraient ni 0, ni \(\times\) dans l'indice se rapportent à un moment quelconque.
On a donc à ce stade : $$ \begin{array}{ccccc} {\color{darkgreen}{v_A = 2.22~\text{m}/\text{s}}} & ; & {\color{darkgreen}{v_B = -7.22~\text{m}/\text{s}}} & & \\ {\color{red}{x_{A0} = 0~\text{km}}} & ; & {\color{red}{x_{B0} = 14.7~\text{km}}} & ; & {\color{red}{x_\times =~?}}\\ {\color{black}{t_{0} = 0~\text{s}}} & ; & {\color{black}{t_\times =~?}} & & \\ \end{array} $$
2. Équations du mouvement

Le coureur et la camionnette ayant une vitesse constante, il s'agit d'un mouvement rectiligne uniforme. On peut donc écrire à chacun son équation du mouvement : $$ \left\{\begin{array}{l} x_A(t) = v_A\cdot t+x_{A0}\\ x_B(t) = v_B\cdot t+x_{B0}\\ \end{array}\right. $$

3. Unités

Il est nécessaire que toutes les unités soient cohérentes (\(\text{m}\), \(\text{s}\) et \(\text{m}/\text{s}\) ou \(\text{km}\), \(\text{h}\) et \(\text{km}/\text{h}\)), par exemple. Nous allons par exemple ici travailler dans les unités de bases du Système International : $$ \begin{array}{ccccc} {\color{darkgreen}{v_A = 2.22~\text{m}/\text{s}}} & ; & {\color{darkgreen}{v_B = -7.22~\text{m}/\text{s}}} & & \\ {\color{red}{x_{A0} = 0~\text{m}}} & ; & {\color{red}{x_{B0} = 14700~\text{m}}} & ; & {\color{red}{x_\times =~?}}\\ {\color{black}{t_{0} = 0~\text{s}}} & ; & {\color{black}{t_\times =~?}} & & \\ \end{array} $$

4. Valeurs

En remplaçant les valeurs connues dans nos équations et en considérant le temps $\(t_\times\) du croisement où les deux positions sont égales à \(x_\times\), on obtient : $$ \left\{\begin{array}{l} x_\times = 2.22\cdot t_\times+0\\ x_\times = -7.22\cdot t_\times+14700\\ \end{array}\right. $$

5. Résolution

Il s'agit d'un système de deux équations à deux inconnues. On peut simplement substituer \(x\) dans la mesure où il est déjà isolé : $$ \begin{array}{rcl|l} 2.22\cdot t_\times+0 & = & -7.22\cdot t_\times+14700 & +7.22t_\times\\ 9.44\cdot t_\times & = & 14700 & : 9.44\\ t_\times & = & 1557.2~\text{s} & \end{array} $$ Il suffit ensuite de substituer ce temps dans l'une des deux équations initiales pour obtenir la position du croisement : $$ x_\times = 2.22\cdot t_\times+0 = 2.22\cdot 1557.2+0 = 3456.99~\text{m} $$Le croisement aura dont lieu dans \(25~\text{min}~57~\text{s}\) à \(3.46~\text{km}\) de la position initiale du coureur (et donc à \(11.24~\text{km}\) de la position initiale de la camionnette).

Nouvel exemple