Cinématique

On peut structurer le raisonnement ainsi :

1. Schéma
avec : $$ \begin{array}{ccc} & {\color{blue}{a = -8~\text{m}/\text{s}^2}} &\\ {\color{darkgreen}{v_A = 149~\text{km}/\text{h}}} & ; & {\color{darkgreen}{v_B = 0~\text{km}/\text{h}}}\\ {\color{red}{\quad x_A = 0~\text{m}}} & ; & {\color{red}{\quad x_B =~?}} \\ {\color{black}{t_A = 0~\text{s}}} & ; & {\color{black}{t_B =~?}} \end{array} $$
2. Équations du mouvement

La locomotive ayant une accélération constante, il s'agit d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Les équations du mouvements sont donc : $$ \left\{\begin{array}{l} x(t) = \dfrac{1}{2}at^2+v_0t+x_0\\ v(t) = at+v_0 \end{array}\right. $$ avec \(x_0=x_A\) et \(v_0=v_A\) puisque nous avons choisi \(t_A = 0\).

3. Unités

Il est nécessaire que toutes les unités soient cohérentes. Comme l'accélération est en \(\text{m}/\text{s}^2\), nous pouvons exprimer les vitesses en \(\text{m}/\text{s}\), les positions en \(\text{m}\) et les temps et \(\text{s}\) :$$ a = -8~\text{m}/\text{s}^2 ; v_A = 41.39~\text{m}/\text{s} $$

4. Valeurs

En considérant le temps \(t_B\) où la locomotive est arrêtée, on a donc dans notre cas : $$ \left\{\begin{array}{l} x_B = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t_B^2+v_A\cdot t_B+ x_B\\ v_B = a\cdot t_B+v_A \end{array}\right. $$ En remplaçant les valeurs : $$ \left\{\begin{array}{l} x_B = \dfrac{1}{2}(-8)\cdot t_B^2+41.39\cdot t_B+ 0\\ 0 = -8\cdot t_B+41.39 \end{array}\right. $$

5. Résolution
On peut isoler \(t_B\) dans la seconde équation : $$ \begin{array}{rcl|l} 0 & = & -8\cdot t_B+41.39 & +8\cdot t_B \\ 8\cdot t_B & = & 41.39 & :8 \\ t_B & = & 5.17~\text{s} & \end{array} $$ Finalement, en substituant la valeur obtenue dans la première pour trouver la position : $$ x_B = \dfrac{1}{2}(-8)\cdot 5.17^2+41.39\cdot 5.17+ 0 = 107.07~\text{m} $$ Ainsi la locomotive aura parcouru une distance de \(107.07~\text{m}\) lors du freinage.

Nouvel exemple