Niveau de difficulté :1 (actuel)23
Résoudre un problème de cinématique.
Léo lance une balle avec une vitesse de \(1.7~\text{m}/\text{s}\) vers le haut depuis une hauteur de \(4.8~\text{m}\) au-dessus du sol. On suppose que le modèle de la chute libre est une approximation raisonnable pour modéliser la situation. Déterminer la vitesse de la balle lorsqu'elle atteindra le sol ainsi que la hauteur maximale atteinte par la balle.
On peut structurer le raisonnement ainsi :
Toutes les grandeurs sont déjà dans les unités de base du Système International.
L'hypothèse de la chute libre implique que la balle suit un MRUA vertical avec une accélération dirigée vers le bas dont l'intensité vaut \(g=9.81\text{m}/\text{s}^2\). Les équations du mouvement sont donc : $$ \left\{\begin{array}{l} x(t) = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2 + v_0\cdot t + x_0\\ v(t) = a\cdot t+v_0 \end{array}\right. $$
En considérant le temps \(t_s\) où la balle arrive au sol, on a donc : $$ \left\{\begin{array}{l} x_s = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t_s^2 + v_0\cdot t_s + x_0\\ v_s = a\cdot t_s+v_0 \end{array}\right. $$ En remplaçant les valeurs, on obtient : $$ \left\{\begin{array}{l} 0 = \dfrac{1}{2}\cdot (-9.81)\cdot t_s^2 +1.7t_s+4.8\\ v_s = -9.81\cdot t_s+1.7 \end{array}\right. $$
La première équation ne contient qu'une inconnue, \(t_s\). Il s'agit d'une équation du deuxième degré qui peut être résolue par exemple en utilisant la formule de Viète. Les coefficients de cette équation sont : $$ a \cong -4.91 \quad ; \quad b = 1.7 \quad ; \quad c = 4.8$$ Nous pouvons calculer le discriminant \(\Delta\) : $$ \Delta = b^2-4ac = 1.7^2 - 4\cdot (-4.91)\cdot 5 \cong 97.07 $$Dans la mesure où \(\Delta>0\), cette équation admet deux solutions : $$\begin{align} {t_s}_1 & = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1.7-\sqrt{97.07}}{2\cdot (-4.91)} \cong 1.18~\text{s}\\ {t_s}_2 & = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1.7+\sqrt{97.07}}{2\cdot (-4.91)} \cong -0.83~\text{s}\end{align}$$
Le temps cherché est dans le futur de la configuration initiale, il faut donc que \(t_s > t_0 = 0~\text{s}\). Ainsi le temps où l'objet se trouvera au sol est \(1.18~\text{s}\).
On peut dès lors substituer ce temps dans l'équation de la vitesse pour trouver cette dernière : $$ v_s = a\cdot t_s+v_0 = -9.81\cdot 1.18+1.7 = -9.85~\text{m}/\text{s} $$ La balle arrivera donc au sol avec une vitesse dirigée vers le bas et ayant une intensité de \(9.85~\text{m}/\text{s}\), soit \(36~\text{km}/\text{h}\).
En considérant la temps \(t_m\) où la balle atteint la hauteur maximale, on a donc : $$ \left\{\begin{array}{l} x_m = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t_m^2 + v_0\cdot t_m + x_0\\ v_m = a\cdot t_m+v_0 \end{array}\right. $$ En remplaçant les valeurs, on obtient : $$ \left\{\begin{array}{l} x_m = \dfrac{1}{2}\cdot (-9.81)\cdot t_m^2 +1.7t_m+4.8\\ 0 = -9.81\cdot t_m+1.7 \end{array}\right. $$ En effet, juste avant le maximum, la balle monte, donc la vitesse est dirigée vers le haut, dans le sens de l'axe, donc \(v>0\), alors que lorsque la balle redescend, la vitesse est dirigée vers le bas, dans le sens contraire de l'axe, donc \(v<0\), c'est pourquoi au maximum la vitesse doit être nulle (par continuité).
La seconde équation ne contient qu'une inconnue, \(t_s\). Il s'agit d'une équation du premier degré où l'on peut aisément isoler \(t_m\) : $$ \begin{array}{rcl|l} 0 & = & -9.81\cdot t_m+1.7 & +9.81t_m\\ 9.81 t_m & = & 1.7 & :9.81\\ t_m & = & 0.17~\text{s} \end{array} $$
On peut dès lors substituer ce temps dans l'équation de la position pour trouver la hauteur maximale : $$ x_m = \dfrac{1}{2}a\cdot t_m^2+v_0\cdot t_m + x_0 = \dfrac{1}{2}\cdot(-9.81)\cdot 0.17^2+1.7\cdot 0.17+4.8 = 4.95~\text{m} $$ La balle atteindra donc une hauteur maximale de \(4.95~\text{m}\) au-dessus du sol.
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