Cinématique

On peut structurer le raisonnement ainsi :

1. Schéma
avec : $$ \begin{array}{ccc} & {\color{blue}{a =~?}} &\\ {\color{darkgreen}{v_A = 20~\text{km}/\text{h}}} & ; & {\color{darkgreen}{v_B = 0~\text{km}/\text{h}}}\\ {\color{red}{\quad x_A = 0~\text{m}}} & ; & {\color{red}{\quad x_B = 10.29~\text{m}}} \\ {\color{black}{t_A = 0~\text{s}}} & ; & {\color{black}{t_B =~?}} \end{array} $$
2. Équations du mouvement

La trotinette électrique ayant une accélération constante, il s'agit d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Les équations du mouvements sont donc : $$ \left\{\begin{array}{l} x(t) = \dfrac{1}{2}at^2+v_0t+x_0\\ v(t) = at+v_0 \end{array}\right. $$ avec \(x_0=x_A\) et \(v_0=v_A\) puisque nous avons choisi \(t_A = 0\).

3. Unités

Il est nécessaire que toutes les unités soient cohérentes. Comme l'accélération est généralement exprimée en \(\text{m}/\text{s}^2\), nous pouvons exprimer les vitesses en \(\text{m}/\text{s}\), les positions en \(\text{m}\) et les temps et \(\text{s}\) :$$ x_B = 10.29~\text{m} ; v_A = 5.56~\text{m}/\text{s} $$

4. Valeurs

En considérant le moment \(t_B\) où la trotinette électrique est arrêtée, on a donc dans notre cas : $$ \left\{\begin{array}{l} x_B = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t_B^2+v_A\cdot t_B+ 0\\ 0 = a\cdot t_B+v_A \end{array}\right. $$ En remplaçant les valeurs : $$ \left\{\begin{array}{l} 10.29 = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t_B^2+5.56\cdot t_B+ 0\\ 0 = a\cdot t_B+5.56 \end{array}\right. $$

5. Résolution
Il s'agit d'un système de deux équations à deux inconnues. On peut isoler par exemple \(a\) dans la seconde équation\(^1\) : $$ \begin{array}{rcl|l} 0 & = & a\cdot t_B+5.56 & -at_B \\ -at_B & = & 5.56 & :(-t_B) \\ a & = & \dfrac{-1.5}{t_B} & (*) \end{array} $$ Ensuite, on substitue \(a\) dans la première équation : $$ \begin{array}{rcl|l} 10.29 & = & \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t_B^2+5.56\cdot t_B & \text{Substituer}~a \\ 10.29 & = & \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{-1.5}{t_B}\cdot t_B^2+5.56\cdot t_B & \text{Réduire} \\ 10.29 & = & 2.78\cdot t_B & : 2.78 \\ t_B & = & 3.7~\text{s} \\ \end{array} $$ En substituant cette valeur dans \((*)\), on obtient finalement : $$ a = \dfrac{-1.5}{3.7} = -1.5~\text{m}/\text{s}^2 $$ Ainsi la trotinette électrique a freiné pendant \(3.7~\text{s}\) avec une décélération de \(-1.5~\text{m}/\text{s}^2\).

\(^1\)Il est en effet plus simple d'isoler une inconnue dans la seconde équation qui est du premier degré, contrairement à la première qui est du deuxième degré. Par ailleurs, comme \(a\) n'apparaît qu'une seule fois dans la première équation, il sera plus rapide de le substituer que de substituer \(t\) qui apparaît deux fois. Mais bien entendu on peut isoler \(t\) ou \(a\) dans la première ou la seconde équation et on obtiendra le même résultat !

Nouvel exemple