Niveau de difficulté :123 (actuel)
Résoudre un problème de cinématique.
Leno conduit une voiture à la vitesse constante de \(49~\text{km}/\text{h}\) sur une route rectiligne dans le désert. Cette route intersecte dans \(7~\text{km}\) une autre route rectiligne perpendiculaire à la première. Loah conduit un bus à la vitesse de \(59~\text{km}/\text{h}\) sur cette route et se trouve actuellement à \(7~\text{km}\) du croisement (les deux véhicules s'approchent du croisement). Déterminer quelle sera la distance minimale à vol d'oiseau entre les deux véhicules.
On peut structurer le raisonnement ainsi :
Comme toutes les grandeurs sont dans le système \(\text{km}\), \(\text{h}\), \(\text{km}/\text{h}\), on peut travailler dans ce système d'unités.
Le problème revient à chercher à quelles positions \(x_A\) (voiture) et \(y_B\) (bus) la distance \(d\) est minimale. La distance s'obtient par Pythagore : $$ d = \sqrt{(x_{A\times}-x_A)^2 + (y_{B\times}-y_B)^2} $$ A noter qu'il qu'il n'est pas important de savoir si la voiture arrivera en premier ou si c'est le bus, car \((x_{A\times}-x_A)^2=(x_A-x_{A\times})^2\) puisque \(x_{A\times}-x_A\) et \(x_A-x_{A\times}\) ne diffèrent que par leur signe, différence ui disparaît lorsque cette quantité est élevée au carré (idem pour le bus).
Les positions \(x_A\) et \(x_B\) peuvent être reliées ensemble via le temps. En effet, les deux véhicules suivant un MRU, on a : $$ \left\{\begin{array}{l} x_A(t) = v_A\cdot t+x_{A0}\\ y_B(t) = v_B\cdot t+y_{B0}\\ \end{array}\right. $$
En remplaçant les valeurs on a pour tout temps \(t\) : $$ \left\{\begin{array}{l} x_A = 49\cdot t\\ y_B = 59\cdot t\\ d = \sqrt{(7-x_A)^2 + (7-y_B)^2} \end{array}\right. $$
On peut directement substituer les deux premières équations dans la troisième : $$ d = \sqrt{(7-49t)^2 + (7-49t)^2} $$ Nous avons donc obtenu une fonction \(d(t)\) qui donne la distance à n'importe quel temps \(t\). Il faut trouver à quelle temps la distance est maximale. Cela revient à chercher le maximum de la fonction \(d\). Comme l'argument sous la racine est positif, \(d(t)\) sera maximale lorsque cet argument sous la racine est maximal. Ainsi le problème revient à trouver le maximum de la fonction : $$ f(t) = (7-49t)^2 + (7-49t)^2 $$ Il s'agit d'une fonction quadratique. On peut développer l'expression et la réduire : $$ \begin{array}{ll} f(t) &= (7-49t)^2 + (7-49t)^2\\ &= 2401t^2-686t+49+3481t^2-826t+49 \\ &= 5882t^2-1512t+98 \\ \end{array} $$ Comme l'orientation de la parabole est positive (car le coefficient multipliant le terme quadratique est positif), on est assuré que cette fonction admet bien un minimum. On peut ensuite trouver le sommet soit en complétant le carré, soit en utilisant la formule qui en découle. Rappelons en effet que pour une fonction du deuxième degré dont l'équation est : $$ f(t) = at^2+bt+c~, $$ l'abscisse du sommet est donnée par : $$ t_{\text{sommet}} = -\dfrac{b}{2a} $$ Ainsi le temps où la distance est minimale est : $$ t_{*} = -\dfrac{-1512}{2\cdot 5882} = 0.13~\text{h} $$ La distance minimale est alors de : $$ \begin{array}{ll} d_{*} &= \sqrt{(7-49t_{*})^2 + (7-49t_{*})^2}\\ &= \sqrt{(7-49\cdot 0.13)^2 + (7-49\cdot 0.13)^2} = 0.91~\text{km} \end{array} $$
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