Intégrales

On peut tout d'abord réécrire notre expresison à l'aide d'une puissance négative pour ne plus avoir de fraction (car il sera facile de trouver la primitive d'une fonction du type \((2x-9)^n\), même si \(n\) n'est pas un nombre naturel) : $$ \int \dfrac{-15}{(2x-9)^{6}} \text{ d}x = \int -15(2x-9)^{-6} \text{ d}x $$On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(-15(2x-9)^{-6}\). On sait qu'une fonction dont la dérivée est une polynôme de degré \(-6\) est un polynôme de degré \(-5\). Prenons simplement comme ansatz \((2x-9)^{-5}\). Sa dérivée est : $$ \left((2x-9)^{-5}\right)' = -5(2x-9)^{-6} \cdot (2x-9)' = -5(2x-9)^{-6} \cdot 2 = -10(2x-9)^{-6} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(-15(2x-9)^{-6}\) on obtient \(-10 (2x-9)^{-6}\). Par ailleurs, \(-10 (2x-9)^{-6}\) est \(-10\) fois plus grand que \((2x-9)^{-6}\) qui est \(-15\) fois plus petit que \(-15(2x-9)^{-6}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-10\) et de le multiplier par \(-15\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{-15}{-10}=\dfrac{3}{2}\) :$$ \int -15(2x-9)^{-6} \text{ d}x = \dfrac{3}{2}(2x-9)^{-5}+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(\dfrac{3}{2}(2x-9)^{-5}+c\right)' = \dfrac{3}{2}\cdot\left(-5 (2x-9)^{-6}\right)\cdot 2 = -15(2x-9)^{-6} $$Dans la mesure où \((2x-9)^{-5} = \dfrac{1}{(2x-9)^{5}}\), on peut finalement réécrire notre expression sans plus de puissance négative. Ainsi la réponse finale est donc :$$ \int \dfrac{-15}{(2x-9)^{6}} \text{ d}x = \dfrac{3}{2(2x-9)^{5}}+c,\forall c\in\mathbb{R} $$

Nouvel exemple