Intégrales

Tout d'abord, il faut déterminer la primitive de la fonction de trouvant dans l'intégrale. Ceci est fait en détails entre les deux lignes horizontales ci-dessous pour celles et ceux qui désirent les détails (néanmoins si la détermination de primitives est encore fragile, je vous encourage à revenir aux deux précédents objectifs). La suite se trouve après la seconde ligne horizontale.

On doit trouver une fonction dont la dérivée est \(\dfrac{8}{-3x+1}\). On sait que la dérivée de la fonction \(\ln|x|\) est \(\dfrac{1}{x}\), on peut donc prendre comme ansatz \(\ln|-3x+1|\) : $$ \left(\ln|-3x+1|\right)' = \frac{1}{-3x+1} \cdot (-3x+1)' = \frac{1}{-3x+1} \cdot (-3) = \frac{-3}{-3x+1} $$On remarque qu'au lieu d'obtenir \(\dfrac{8}{-3x+1}\) on obtient \(\dfrac{-3}{-3x+1}\). Par ailleurs, \(\dfrac{-3}{-3x+1}\) est \(-3\) fois plus grand que \(\dfrac{1}{-3x+1}\) qui est \(8\) fois plus petit que \(\dfrac{8}{-3x+1}\). Il suffit donc de divisier notre ansatz par \(-3\) et de le multiplier par \(8\). Autrement dit, de le multiplier par \(\dfrac{8}{-3}\) :$$ \int \dfrac{8}{-3x+1} \text{ d}x = -\dfrac{8}{3}\ln|-3x+1|+c,\forall c\in\mathbb{R}$$ Vérification : $$ \left(-\dfrac{8}{3}\ln|-3x+1|+c\right)' = -\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{1}{-3x+1}\cdot (-3) = \dfrac{8}{-3x+1} $$

Par le théorème fondamental de l'analyse : $$ \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{-11}^{-7} \dfrac{8}{-3x+1} \text{ d}x &= \left.-\dfrac{8}{3}\ln|-3x+1|+c\right|_{-11}^{-7} \\ &= \left(-\dfrac{8}{3}\ln|-3(-7)+1|+c\right) - \left(-\dfrac{8}{3}\ln|-3(-11)+1|+c\right) \\ & \cong -8.24-(-9.4)\\ & \cong 1.16 \end{array}$$ (arrondi à trois chiffres significatifs au moins et à l'entier le plus proche au moins)

Nouvel exemple