Résoudre un problème d'intérêts simples ou composés combinant les notions de bases des objectifs 1 et 2 (comparaison de différentes offres, taux fixe modifié après un certain nombre d'années, conversion de taux, etc.).
Une banque propose un taux annuel fixe de \(1.2\%\) pendant \(5\text{ ans}\) puis de \(0.37\%\) les années suivantes. On place un capital de \(\text{CHF }77000\) sur un tel compte. Combien d'années faut-il attendre pour que le capital sur le compte soit de \(\text{CHF }82436\) ?
Le problème peut se décomposer en deux parties. Tout d'abord, un taux annuel \(i_1 = 1.2\% = 0.012\) est appliqué pendant une durée \(n_1=5\text{ ans}\) (bien entendu : seulement si le temps total cherché est supérieur à cette durée), puis un taux annuel \(i_2 = 0.37\% = 0.0037\) est appliqué pendant une durée \(n_2\) inconnue. La première chose à faire est de vérifier si effectivement la durée chercher est supérieure à \(n_1=5\text{ ans}\). Pour ce faire, commençons par calculer le capital après \(n_1=5\text{ ans}\) pour le comparer au capital final \(C_n = \text{CHF }82436\).
Nous avons un capital initial \(C_0 = \text{CHF }77000\), un taux annuel \(i_{1} = 1.2\% = 0.012\), une durée \(n_1=5\text{ ans}\) et on cherche le capital final \(C_{n_1}\). Dans la mesure où il s'agit d'intérêts composés, la relation entre ces grandeurs est : $$ C_{n_1} = C_0 (1+i)^{n_1} $$ Il suffit de remplacer les valeurs dans cette équation pour obtenir le résultat recherchée : $$ C_{n_1} = 77000(1+0.012)^{5} \cong \text{CHF }81732.22$$ Le capital après \(5\text{ ans}\) (arrondi à deux chiffres après la virgule si besoin) est donc de \(\text{CHF }81732.22\).
Ce capital étant inférieur au capital final (\(\text{CHF }82436\)), cela signifie que la durée est supérieure à \(5\text{ ans}\). On peut donc définir \(n\) comme étant la durée supplémentaire au second taux, avec dès lors un capital \(C_0 = \text{CHF }81732.22\) et déterminer cette durée.
Nous avons un capital initial \(C_0 = \text{CHF }81732.22\), un capital final \(C_n = \text{CHF }82436\), un taux annuel \(i = 0.37\% = 0.0037\) et on cherche la durée \(n\) en ans. Dans la mesure où il s'agit d'intérêts composés, la relation entre ces grandeurs est : $$ C_n = C_0 (1+i)^n $$ Pour obtenir \(n\), il faut l'isoler dans l'équation. En remplaçant les valeurs : $$\begin{array}{rcl|l} 82436 & = & 81732.22 (1+0.0037)^n & :81732.22\\ \frac{82436}{81732.22} & = & 1.0037^n & \log(...)\\ \log\left(\frac{82436}{81732.22}\right) & = & \log\left(1.0037^n\right) & \text{Propriété du log.}\\ \log\left(\frac{82436}{81732.22}\right) & = & n\cdot\log(1.0037) & :\log(1.0037)\\ \dfrac{\log\left(\frac{82436}{81732.22}\right)}{\log(1.0037)} & = & n & \end{array} $$ On obtient ainsi le résultat recherché (arrondi ici à deux décimales si nécessaire) : $$ n = \dfrac{\log\left(\frac{82436}{81732.22}\right)}{\log(1.0037)} \cong 2.32\text{ ans}$$ Il faut donc attendre \(3\text{ ans}\) au taux \(i = 0.37\%\) pour atteindre un capital \(C_n = \text{CHF }81732.22\). Ainsi la durée totale est de \(5+3= 8 \text{ ans}\).
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