Résoudre un problème d'intérêts simples ou composés combinant les notions de bases des objectifs 1 et 2 (comparaison de différentes offres, taux fixe modifié après un certain nombre d'années, conversion de taux, etc.).
Une banque propose un taux annuel fixe de \(1.5\%\) pendant \(5\text{ ans}\) puis de \(0.44\%\) les années suivantes. On place un capital de \(\text{CHF }60000\) sur un tel compte. Combien d'années faut-il attendre pour que le capital sur le compte soit de \(\text{CHF }65504\) ?
Le problème peut se décomposer en deux parties. Tout d'abord, un taux annuel \(i_1 = 1.5\% = 0.015\) est appliqué pendant une durée \(n_1=5\text{ ans}\) (bien entendu : seulement si le temps total cherché est supérieur à cette durée), puis un taux annuel \(i_2 = 0.44\% = 0.0044\) est appliqué pendant une durée \(n_2\) inconnue. La première chose à faire est de vérifier si effectivement la durée chercher est supérieure à \(n_1=5\text{ ans}\). Pour ce faire, commençons par calculer le capital après \(n_1=5\text{ ans}\) pour le comparer au capital final \(C_n = \text{CHF }65504\).
Nous avons un capital initial \(C_0 = \text{CHF }60000\), un taux annuel \(i_{1} = 1.5\% = 0.015\), une durée \(n_1=5\text{ ans}\) et on cherche le capital final \(C_{n_1}\). Dans la mesure où il s'agit d'intérêts composés, la relation entre ces grandeurs est : $$ C_{n_1} = C_0 (1+i)^{n_1} $$ Il suffit de remplacer les valeurs dans cette équation pour obtenir le résultat recherchée : $$ C_{n_1} = 60000(1+0.015)^{5} \cong \text{CHF }64637.04$$ Le capital après \(5\text{ ans}\) (arrondi à deux chiffres après la virgule si besoin) est donc de \(\text{CHF }64637.04\).
Ce capital étant inférieur au capital final (\(\text{CHF }65504\)), cela signifie que la durée est supérieure à \(5\text{ ans}\). On peut donc définir \(n\) comme étant la durée supplémentaire au second taux, avec dès lors un capital \(C_0 = \text{CHF }64637.04\) et déterminer cette durée.
Nous avons un capital initial \(C_0 = \text{CHF }64637.04\), un capital final \(C_n = \text{CHF }65504\), un taux annuel \(i = 0.44\% = 0.0044\) et on cherche la durée \(n\) en ans. Dans la mesure où il s'agit d'intérêts composés, la relation entre ces grandeurs est : $$ C_n = C_0 (1+i)^n $$ Pour obtenir \(n\), il faut l'isoler dans l'équation. En remplaçant les valeurs : $$\begin{array}{rcl|l} 65504 & = & 64637.04 (1+0.0044)^n & :64637.04\\ \frac{65504}{64637.04} & = & 1.0044^n & \log(...)\\ \log\left(\frac{65504}{64637.04}\right) & = & \log\left(1.0044^n\right) & \text{Propriété du log.}\\ \log\left(\frac{65504}{64637.04}\right) & = & n\cdot\log(1.0044) & :\log(1.0044)\\ \dfrac{\log\left(\frac{65504}{64637.04}\right)}{\log(1.0044)} & = & n & \end{array} $$ On obtient ainsi le résultat recherché (arrondi ici à deux décimales si nécessaire) : $$ n = \dfrac{\log\left(\frac{65504}{64637.04}\right)}{\log(1.0044)} \cong 3.03\text{ ans}$$ Il faut donc attendre \(4\text{ ans}\) au taux \(i = 0.44\%\) pour atteindre un capital \(C_n = \text{CHF }64637.04\). Ainsi la durée totale est de \(5+4= 9 \text{ ans}\).
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