Calculer une limite lorsque \(x\) tend vers \(\pm \infty\). Consigne : calculer la limite suivante si elle est définie. Une limite est définie si elle existe (donne un nombre) ou si elle n'existe pas mais tend vers plus l'infini respectivement vers moins l'infini.$$\lim_{x\to -\infty}\left(\dfrac{-5x^{}+7}{-5x^{}-9}\right)$$
On constate que lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\), le numérateur et le dénominateur deviennent arbitrairement grands en magnitude (soit positivement, soit négativement). Cependant, on ne sait pas lequel des deux grandit le plus rapidement. Cette forme est donc pour le moment indéterminée. Pour pouvoir déterminer la valeur de la limite, on peut faire en sorte de ne plus avoir un terme arbitrairement grand au dénominateur, mais un terme qui tend vers une constante. A cet effet, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par \(x^{}\) : $$\lim_{x\to -\infty}\left(\dfrac{-5x^{}+7}{-5x^{}-9}\right) = \lim_{x\to -\infty}\left(\dfrac{-5+\dfrac{7}{x^{}}}{-5-\dfrac{9}{x^{}}}\right)$$ Dès lors, tous les termes du type \(\dfrac{\text{const}}{x^n}\) avec \(n>0\) vont tendre vers zéro lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\). Les termes non nuls restant dans la limite sont donc : $$\lim_{x\to -\infty}\left(\dfrac{-5+\dfrac{7}{x^{}}}{-5-\dfrac{9}{x^{}}}\right) = \lim_{x\to -\infty}\left(\dfrac{-5}{-5}\right)$$ La limite tend donc vers \(-5\) divisé par \(-5\), ce qui donne \(1\). Ainsi au final :$$\lim_{x\to -\infty}\left(\dfrac{-5x^{}+7}{-5x^{}-9}\right) = 1$$
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