Résoudre un problème basique de dette (quelle que soit l'inconnue, sauf le taux d'intérêt \(i\) ou le facteur de capitalisation \(r\)), que la dette soit entièrement soldée ou qu'il reste une dette résiduelle. Formulaire (avec \(r=1+i\)) : $$ D_n = C_0r^n - a\dfrac{r^n-1}{r-1} $$
Chloé emprunte une somme de CHF 23000 puis rembourse en un nombre à déterminer de mensualités d'un montant de CHF 2185 avec un taux mensuel fixe de 0.208% (intérêts composés) de telle sorte que la dette résiduelle s'élèvera alors à CHF 2095. Déterminer le nombre de mois nécessaires.
Il faut déterminer le nombre de mensualités d'une valeur \(a = \text{CHF }2185\) que doit verser Chloé pour rembourser une dette initiale de \(C_0 = \text{CHF }23000\) à un taux mensuel \(i_{m} = 0.208\% = 0.00208\), donc un facteur de capitalisation \(r = 1+i = 1.00208\), pour que la dette restante soit de \(D_n =\text{CHF }2095\). L'état d'une dette est donnée par : $$ D_n = C_0r^n - a\dfrac{r^n-1}{r-1} $$ On peut remplacer les valeurs connues puis isoler l'inconnue (en gardant en mémoire les valeurs exactes dans la calculatrices, ou en isolant en littéral puis en remplaçant). La partie en bleu ci-dessous peut bien entendu être effectuée en une seule étape, mais pour les personnes qui ne sont pas à l'aise avec la priorité des opérations, vous trouverez ainsi tous les détails (avec encore plus de détails en note de bas de page). $$\begin{array}{rcl|l} \color{blue}{2095} & \color{blue}{=} & \color{blue}{23000\cdot 1.00208^{n} - 2185\dfrac{1.00208^{n}-1}{1.00208-1}} & \color{blue}{\text{Calcul et réécriture}^*}\\ \color{blue}{\dfrac{2095}{1}} & \color{blue}{=} & \color{blue}{\dfrac{23000\cdot 1.00208^{n}}{1} - \dfrac{2185}{1}\cdot\dfrac{1.00208^{n}-1}{0.00208}} & \color{blue}{\text{Calcul}}\\ \color{blue}{\dfrac{2095}{1}} & \color{blue}{=} & \color{blue}{\dfrac{23000\cdot 1.00208^{n}}{1} - \dfrac{2185(1.00208^{n}-1)}{0.00208}} & \color{blue}{\text{Même dénominateur}}\\ \color{blue}{\dfrac{4.3576}{0.00208}} & \color{blue}{=} & \color{blue}{\dfrac{0.00208\cdot 23000\cdot 1.00208^{n}}{0.00208} - \dfrac{2185(1.00208^{n}-1)}{0.00208}} & \color{blue}{\text{Simplification}^*}\\ \color{blue}{\dfrac{4.3576}{0.00208}} & \color{blue}{=} & \color{blue}{\dfrac{47.84\cdot 1.00208^{n}}{0.00208} - \dfrac{2185(1.00208^{n}-1)}{0.00208}} & \color{blue}{\cdot 0.00208}\\ 4.3576 & = & 47.84\cdot 1.00208^{n} - 2185(1.00208^{n}-1) & \text{Distributivité}^*\\ 4.3576 & = & 47.84\cdot 1.00208^{n} - 2185\cdot 1.00208^{n} + 2185 & - 2185\\ -2180.6424 & = & 47.84\cdot 1.00208^{n} - 2185\cdot 1.00208^{n} & \text{Simplicifaction}^{**}\\ -2180.6424 & = & -2137.16\cdot 1.00208^{n} & : \left(-2137.16\right)\\ 1.0203 & \cong & 1.00208^{n} & \log(...)\\ 0.0087 & \cong & \log(1.00208^{n}) & \text{Proppriété du log.}\\ 0.0087 & \cong & n\cdot \log(1.00208) & :\log(1.00208)\\ 9.69 & = & n & \end{array} $$ Il faut donc attendre \(10\text{ mois}\) pour que la dette arrive à \(\text{CHF }2095\) (avec possiblement le dernier versement effectué inférieur au montant des autres mensualités).
\(^*\)Attention à ne pas tomber dans le piège suivant : $$ 23000\cdot 1.00208^{n} \neq 23047.84^n$$ En effet, il y a un problème de priorité des opérations dans la fausse idée ci-dessus, dans la mesure où on doit d'abord effectuer la puissance (qui n'est que sur \(1.00208\)) puis la multiplication. Prenons un exemple avec des nombres plus parlant : $$ 3\cdot 5^2 = 3 \cdot (5\cdot 5) = 3\cdot 25 = 75$$ alors que $$ (3\cdot 5)^2 = (15)^2 = 225$$ et jusqu'à nouvel avis \(15\neq 225\) !
\(^{**}\)Mise en évidence : de la même manière que \(7x-4x=3x\) ou que \(47.84x - 2189.5448x = -2141.7048x\), on a que \(47.84\cdot 1.00208^{n} - 2189.5448\cdot 1.00208^{n} = -2141.7048\cdot 1.00208^{n}\).
Copyright © Olivier Simon 2011-2026