Limites

Objectif 1

Calculer une limite basique (c'est-à-dire sans qu'il soit nécessaire de faire de simplification algébrique) autour d'une valeur \(x_0\). Consigne : calculer la limite suivante si elle est définie. Si elle n'est pas définie, calculer la limite à gauche et la limite à droite si elles sont définies. Une limite est définie si elle existe (donne un nombre) ou si elle n'existe pas mais tend vers plus l'infini respectivement vers moins l'infini.$$\lim_{x\to -7}\left(\log{(-7-x)}\right)$$

Nouvel exemple

On constate que lorsque \(x\) tend vers \(-7\), l'argument dans le logarithme tend vers 0. Si la valeur de l'argument dans le logarithme tend vers 0 par valeur positive, le logarithme de cet argument deviendra de plus en plus négatif. Si en revanche l'argument dans le logarithme tend vers 0 par valeur négative, il n'est pas possible de faire le logarithme d'un nombre négatif ou nul et la limite n'existera pas. Il faut donc différencier le cas de la limite à gauche et à droite.

  • Considérons la limite à gauche de \(-7\) : $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}-7}\left(\log{(-7-x)}\right)$$

    L'argument dans le logarithme tend bien entendu toujours vers \(0\), mais comme \(x<-7\), on a que \(-7-x\) est positif. Comme l'argument est positif, plus celui-ci se rapprochera de zéro et plus le logarithme de cet argument sera négatif. Cette limite tend donc vers \(-\infty\) : $$\lim_{x\stackrel{<}{\to}-7}\left(\log{(-7-x)}\right) = -\infty $$

  • Considérons la limite à droite de \(-7\) : $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}-7}\left(\log{(-7-x)}\right)$$

    L'argument dans le logarithme tend bien entendu toujours vers \(0\), mais comme \(x>-7\), on a que \(-7-x\) est négatif. Comme il n'est pas possible de faire le logarithme d'un nombre négatif ou nul, la limite à gauche n'existe pas. Ainsi : $$\lim_{x\stackrel{>}{\to}-7}\left(\log{(-7-x)}\right) \text{n'existe pas}$$

En résumé :$$\lim_{x\to -7}\left(\log{(-7-x)}\right) \text{n'existe pas}$$$$\lim_{x\stackrel{<}{\to}-7}\left(\log{(-7-x)}\right) = -\infty $$$$\lim_{x\stackrel{>}{\to}-7}\left(\log{(-7-x)}\right) \text{n'existe pas}$$

Nouvel exemple

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