Résoudre un problème basique d'intérêts composés (quelle que soit l'inconnue), avec un taux fixe mensuel ou annuel.
Un capital de CHF 7000 est placé sur un compte épargne avec un taux annuel fixe de 0.38% (intérêts composés). Après un nombre à déterminer d'années, la somme s'élève à un capital de CHF 7508. Déterminer le nombre d'années nécessaires pour atteindre un tel capital final.
Nous avons un capital initial \(C_0 = \text{CHF }7000\), un capital final \(C_n = \text{CHF }7508\), un taux annuel \(i_{a} = 0.38\% = 0.0038\) et on cherche la durée \(n\) en ans. Dans la mesure où il s'agit d'intérêts composés, la relation entre ces grandeurs est : $$ C_n = C_0 (1+i)^n $$ Pour obtenir \(n\), il faut l'isoler dans l'équation. En remplaçant les valeurs : $$\begin{array}{rcl|l} 7508 & = & 7000 (1+0.0038)^n & :7000\\ \frac{7508}{7000} & = & 1.0038^n & \log(...)\\ \log\left(\frac{7508}{7000}\right) & = & \log\left(1.0038^n\right) & \text{Propriété du log.}\\ \log\left(\frac{7508}{7000}\right) & = & n\cdot\log(1.0038) & :\log(1.0038)\\ \dfrac{\log\left(\frac{7508}{7000}\right)}{\log(1.0038)} & = & n & \end{array} $$ On obtient ainsi le résultat recherché (arrondi ici à deux décimales si nécessaire) : $$ n = \dfrac{\log\left(\frac{7508}{7000}\right)}{\log(1.0038)} \cong 18.47\text{ ans}$$ Il faut donc attendre \(19\text{ ans}\).
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