Résoudre un problème basique d'intérêts composés (quelle que soit l'inconnue), avec un taux fixe mensuel ou annuel.
Un capital de CHF 52000 est placé sur un compte épargne avec un taux mensuel fixe de 0.008% (intérêts composés). Après un nombre à déterminer de mois, la somme s'élève à un capital de CHF 56558. Déterminer le nombre de mois nécessaires pour atteindre un tel capital final.
Nous avons un capital initial \(C_0 = \text{CHF }52000\), un capital final \(C_n = \text{CHF }56558\), un taux mensuel \(i_{m} = 0.008\% = 8.0E-5\) et on cherche la durée \(n\) en mois. Dans la mesure où il s'agit d'intérêts composés, la relation entre ces grandeurs est : $$ C_n = C_0 (1+i)^n $$ Pour obtenir \(n\), il faut l'isoler dans l'équation. En remplaçant les valeurs : $$\begin{array}{rcl|l} 56558 & = & 52000 (1+8.0E-5)^n & :52000\\ \frac{56558}{52000} & = & 1.00008^n & \log(...)\\ \log\left(\frac{56558}{52000}\right) & = & \log\left(1.00008^n\right) & \text{Propriété du log.}\\ \log\left(\frac{56558}{52000}\right) & = & n\cdot\log(1.00008) & :\log(1.00008)\\ \dfrac{\log\left(\frac{56558}{52000}\right)}{\log(1.00008)} & = & n & \end{array} $$ On obtient ainsi le résultat recherché (arrondi ici à deux décimales si nécessaire) : $$ n = \dfrac{\log\left(\frac{56558}{52000}\right)}{\log(1.00008)} \cong 1050.33\text{ mois}$$ Il faut donc attendre \(1051\text{ mois}\).
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