Résoudre un problème basique de capitalisation (quelle que soit l'inconnue, sauf le taux d'intérêt \(i\) ou le facteur de capitalisation \(r\)). Formulaire (avec \(r=1+i\)) : $$\begin{array}{ll} \text{Versement en début de période :} & S_n = a\dfrac{r(r^n-1)}{r-1}\\ \text{Versement en fin de période :} & \ddot{S}_n = a\dfrac{r^n-1}{r-1} \end{array}$$
Nolan place une somme de CHF 690 en début de mois sur un compte épargne avec un taux mensuel fixe de 0.167% (intérêts composés). Nolan verse ensuite cette même somme à chaque début de mois. Après un nombre à déterminer de mois, le montant sur le compte s'élève à un capital supérieur ou égal à CHF 31757 en fin de mois. Déterminer le nombre minimal de mois nécessaires pour atteindre ou dépasser un tel capital final.
Nolan place en chaque début de mois \(a = \text{CHF }690\), obtient un capital final \(S_n = \text{CHF }31757\), avec un taux mensuel \(i_{m} = 0.167\% = 0.00167\), donc un facteur de capitalisation \(r = 1+i = 1.00167\), et on cherche la durée \(n\) en mois. La relation entre ces grandeurs est : $$ S_n = a\dfrac{r(r^n-1)}{r-1} $$ On peut remplacer les valeurs connues puis isoler l'inconnue (en gardant en mémoire les valeurs exactes dans la calculatrices, ou en isolant en littéral puis en remplaçant) : $$\begin{array}{rcl|l} 31757 & = & 690\dfrac{1.00167(1.00167^{n}-1)}{1.00167-1} & :690\\ 46.0246 & \cong & \dfrac{1.00167(1.00167^{n}-1)}{0.00167} & \cdot 0.00167\\ 0.0769 & \cong & 1.00167(1.00167^{n}-1) & : 1.00167\\ 0.0767 & \cong & 1.00167^{n}-1 & +1\\ 1.0767 & \cong & 1.00167^{n} & \log(...)\\ 0.0321 & \cong & \log(1.00167^{n}) & \text{Proppriété du log.}\\ 0.0321 & \cong & n\cdot \log(1.00167) & :\log(1.00167)\\ 44.31 & = & n & \end{array} $$ Il faut donc attendre \(45\text{ mois}\) pour que le capital soit supérieur ou égal au capital indiqué (en effet, Nolan reçoit les intérêts seulement en chaque fin de mois).
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