Résoudre un problème basique de capitalisation (quelle que soit l'inconnue, sauf le taux d'intérêt \(i\) ou le facteur de capitalisation \(r\)). Formulaire (avec \(r=1+i\)) : $$\begin{array}{ll} \text{Versement en début de période :} & S_n = a\dfrac{r(r^n-1)}{r-1}\\ \text{Versement en fin de période :} & \ddot{S}_n = a\dfrac{r^n-1}{r-1} \end{array}$$
Anastasia place une somme de CHF 260 en début d'année sur un compte épargne avec un taux annuel fixe de 1% (intérêts composés). Anastasia verse ensuite cette même somme à chaque début d'année. Après un nombre à déterminer d'années, le montant sur le compte s'élève à un capital supérieur ou égal à CHF 4488 en fin d'année. Déterminer le nombre minimal d'années nécessaires pour atteindre ou dépasser un tel capital final.
Anastasia place en chaque début d'année \(a = \text{CHF }260\), obtient un capital final \(S_n = \text{CHF }4488\), avec un taux annuel \(i_{a} = 1\% = 0.01\), donc un facteur de capitalisation \(r = 1+i = 1.01\), et on cherche la durée \(n\) en ans. La relation entre ces grandeurs est : $$ S_n = a\dfrac{r(r^n-1)}{r-1} $$ On peut remplacer les valeurs connues puis isoler l'inconnue (en gardant en mémoire les valeurs exactes dans la calculatrices, ou en isolant en littéral puis en remplaçant) : $$\begin{array}{rcl|l} 4488 & = & 260\dfrac{1.01(1.01^{n}-1)}{1.01-1} & :260\\ 17.2615 & \cong & \dfrac{1.01(1.01^{n}-1)}{0.01} & \cdot 0.01\\ 0.1726 & \cong & 1.01(1.01^{n}-1) & : 1.01\\ 0.1709 & \cong & 1.01^{n}-1 & +1\\ 1.1709 & \cong & 1.01^{n} & \log(...)\\ 0.0685 & \cong & \log(1.01^{n}) & \text{Proppriété du log.}\\ 0.0685 & \cong & n\cdot \log(1.01) & :\log(1.01)\\ 15.86 & = & n & \end{array} $$ Il faut donc attendre \(16\text{ ans}\) pour que le capital soit supérieur ou égal au capital indiqué (en effet, Anastasia reçoit les intérêts seulement en chaque fin d'année).
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