Dérivées

Rappelons tout d'abord que la dérivée de \(f\) en \(x\) - qui correspond à la pente de la tangente de \(f\) en \(x\) - est définie par l'expression suivante (cf. construction faite en cours) : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ Le terme \(f(x)\) est bien entendu donné ici par : $$ f({\color{red}{x}}) = {\color{red}{x}}^{4} $$ Evaluer \(f\) en \(x+\Delta x\) revient à remplacer \(x\) par \(x+\Delta x\), ainsi : $$ f({\color{red}{x+\Delta x}}) = {(\color{red}{x+\Delta x}})^{4} $$ Ainsi notre dérivée s'écrit : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{(x+\Delta x)^{4} - x^{4}}{\Delta x}$$ Bien entendu, si l'on remplace brutalement \(\Delta x\) par zéro, on obtient une forme indéterminée, car le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 (ce qui est cohérent par construction de cette quantité). Il va donc falloir simplifier cette limite. Pour commencer, on peut distribuer la parenthèse : $$ (x+\Delta x)^{4} =(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)$$ Comme nous sommes flemmards, nous allons remettre à plus tard cette distributivité. Dans tous les cas, on sait que le résultat sera de la forme suivante : $$ (x+\Delta x)^{4} = x^{4} + c_1 \cdot x^{3}\cdot \Delta x+c_{2}\cdot x^{2}\cdot(\Delta x)^{2}+c_{3} \cdot x\cdot (\Delta x)^{3} + (\Delta x)^{4}$$ Dès lors : $$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{(x+\Delta x)^{4} - x^{4}}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{c_1 \cdot x^{3}\cdot \Delta x+c_{2}\cdot x^{2}\cdot(\Delta x)^{2}+c_{3} \cdot x\cdot (\Delta x)^{3} + (\Delta x)^{4}}{\Delta x} \end{aligned}$$ Afin de pouvoir simplifier la fraction, on peut factoriser par \(\Delta x\) : $$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta x\cdot\left(c_1 \cdot x^{3}+c_{2}\cdot x^{2}\cdot(\Delta x)^{}+c_{3} \cdot x\cdot (\Delta x)^{2} + (\Delta x)^{3}\right)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\left(c_1 \cdot x^{3}+c_{2}\cdot x^{2}\cdot(\Delta x)^{}+c_{3} \cdot x\cdot (\Delta x)^{2} + (\Delta x)^{3}\right)\\ & = c_1 \cdot x^{3} \end{aligned}$$ Il était donc stratégique de ne pas calculer les coeficients dès le départ... car seul le coefficient \(c_1\) apparaît dans le résultat ! Le coefficient \(c_1\) est le coefficient qui multipliait initialement \(x^{3}\cdot \Delta x\) dans le polynôme $$ (x+\Delta x)^{4} = (x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)$$ Or ce terme s'obtient en prenant \(\Delta x\) dans une parenthèse et \(x\) dans toutes les autres. Comme il y a 4 parenthèses, il y a 4 manières de choisir dans quelle parenthèse est choisi \(\Delta x\), dès lors il y aura 4 termes \(x^{3}\cdot \Delta x\) qui s'additionnent et ainsi \(c_1=4\). Ainsi la dérivée de \(f\) est : $$ f'(x) = 4x^{3}$$

Nouvel exemple