Dérivées

Rappelons tout d'abord que la dérivée de \(f\) en \(x\) - qui correspond à la pente de la tangente de \(f\) en \(x\) - est définie par l'expression suivante (cf. construction faite en cours) : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ Le terme \(f(x)\) est bien entendu donné ici par : $$ f({\color{red}{x}}) = \dfrac{1}{{\color{red}{x}}^{}} $$ Evaluer \(f\) en \(x+\Delta x\) revient à remplacer \(x\) par \(x+\Delta x\), ainsi : $$ f({\color{red}{x+\Delta x}}) = \dfrac{1}{{(\color{red}{x+\Delta x}})^{}} $$ Ainsi notre dérivée s'écrit : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\tfrac{1}{(x+\Delta x)^{}} - \tfrac{1}{x^{}}}{\Delta x}$$ Bien entendu, si l'on remplace brutalement \(\Delta x\) par zéro, on obtient une forme indéterminée, car le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 (ce qui est cohérent par construction de cette quantité). Il va donc falloir simplifier cette limite. Pour commencer, on mettre les deux fractions du numérateur au même dénominateur : $$\dfrac{1}{(x+\Delta x)^{}} - \dfrac{1}{x^{}} = \dfrac{x^{}}{x^{}(x+\Delta x)^{}} - \dfrac{(x+\Delta x)^{}}{x^{}(x+\Delta x)^{}} = \dfrac{x^{}-(x+\Delta x)^{}}{x^{}(x+\Delta x)^{}}$$ Ainsi notre dérivée peut s'écrire : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\tfrac{x^{}-(x+\Delta x)^{}}{x^{}(x+\Delta x)^{}}}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{x^{}-(x+\Delta x)^{}}{x^{}(x+\Delta x)^{}}\cdot \dfrac{1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{x^{}-(x+\Delta x)^{}}{x^{}(x+\Delta x)^{}\Delta x}$$On obtient ainsi : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-1}{x(x+\Delta x)}$$ Cette limite n'est désormais plus sous une forme indéterminée et on obtient : $$ f'(x) = \dfrac{-1}{x(x+0)}=-\dfrac{1}{x^{2} }$$ Ainsi la dérivée de \(f\) est : $$ f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}}$$

Nouvel exemple