Dérivées

Rappelons tout d'abord que la dérivée de \(f\) en \(x\) - qui correspond à la pente de la tangente de \(f\) en \(x\) - est définie par l'expression suivante (cf. construction faite en cours) : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ Le terme \(f(x)\) est bien entendu donné ici par : $$ f({\color{red}{x}}) = \cos({\color{red}{x}})$$ Evaluer \(f\) en \(x+\Delta x\) revient à remplacer \(x\) par \(x+\Delta x\), ainsi : $$ f({\color{red}{x+\Delta x}}) = \cos({\color{red}{x+\Delta x}})$$ Ainsi notre dérivée s'écrit : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\cos(x+\Delta x) - \cos(x)}{\Delta x}$$ Bien entendu, si l'on remplace brutalement \(\Delta x\) par zéro, on obtient une forme indéterminée, car le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 (ce qui est cohérent par construction de cette quantité). Il va donc falloir simplifier cette limite. A cet effet, on peut utiliser l'indication pour transformer la soustraction au numérateur en un produit : $$ \cos(x+\Delta x) - \cos(x) = -2\sin\left(\frac{(x+\Delta x)+x}{2}\right)\sin\left(\frac{(x+\Delta x)-x}{2}\right)= -2\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)$$ Ainsi notre dérivée devient : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-2\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}$$ Par ailleurs, on a montré en classe que $$ \lim_{\alpha\to 0}\dfrac{\sin(\alpha)}{\alpha}=1 $$ Dès lors, \(\sin(\alpha)\) tend vers 0 à la même vitesse que \(\alpha\). On peut également s'en convaincre intuitivement à partir de la définition de l'angle en radian. A mesure que l'angle \(\alpha\) dans la figure ci-dessous se rapproche de 0, la longueur \(L\) de l'arc rouge se rapproche de la longueur du segment bleu \(S\) :

Par définition d'un angle en radian et par définition de la fonction sinus : $$ \alpha = \dfrac{L}{R} \quad ; \quad \sin(\alpha) = \dfrac{S}{R} $$ Ainsi si \(L\to S\) (ce qui est le cas lorsque \(\alpha\to 0\)), alors \(\sin(\alpha)\to\alpha\).

Autrement dit, il est possible de remplacer \(\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)\) par \(\frac{\Delta x}{2}\) dans notre dérivée (pusique \Delta x\to 0), ce nous permet de simplifier les facteurs 2 et \(\Delta x\) : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-2\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\Delta x}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0} \left(-\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right)$$ Cette limite n'a plus une forme indéfinie et donne : $$ f'(x) = -\sin\left(x+\frac{0}{2}\right) = -\sin(x) $$

Nouvel exemple