Dérivées

La dérivée de \(f\) en \(x\) correspond à la tangente de \(f\) en \(x\). La fonction \(f(x)=2x+10\) est une fonction affine, ainsi sa pente est en tout point identique et vaut \(2\) en chaque \(x\) : $$ f'(x) = 2$$On peut également le montrer en appliquant la définition algébrique de la dérivée : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ Le terme \(f(x)\) est bien entendu donné ici par : $$ f({\color{red}{x}}) = 2{\color{red}{x}}+10 $$ Evaluer \(f\) en \(x+\Delta x\) revient à remplacer \(x\) par \(x+\Delta x\), ainsi : $$ f({\color{red}{x+\Delta x}}) = 2({\color{red}{x+\Delta x}})+10 $$ Ainsi notre dérivée s'écrit : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{2({\color{red}{x+\Delta x}})+10 - \left(2{\color{red}{x}}+10\right)}{\Delta x}$$ On peut distribuer les parenthèses et simplifier le résultat : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{2x+2\Delta x+10-2x-10}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{2\Delta x}{\Delta x} = 2$$

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