A partir de la définition de la dérivée, calculer la dérivée d'une fonction élémentaire. Calculer la dérivée de la fonction \(f : \mathbb{R}^{}_{}\to\mathbb{R}\) dont l'expression fonctionnelle est :$$ f(x) = -6x-8$$
La dérivée de \(f\) en \(x\) correspond à la tangente de \(f\) en \(x\). La fonction \(f(x)=-6x-8\) est une fonction affine, ainsi sa pente est en tout point identique et vaut \(-6\) en chaque \(x\) : $$ f'(x) = -6$$On peut également le montrer en appliquant la définition algébrique de la dérivée : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ Le terme \(f(x)\) est bien entendu donné ici par : $$ f({\color{red}{x}}) = -6{\color{red}{x}}-8 $$ Evaluer \(f\) en \(x+\Delta x\) revient à remplacer \(x\) par \(x+\Delta x\), ainsi : $$ f({\color{red}{x+\Delta x}}) = -6({\color{red}{x+\Delta x}})-8 $$ Ainsi notre dérivée s'écrit : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-6({\color{red}{x+\Delta x}})-8 - \left(-6{\color{red}{x}}-8\right)}{\Delta x}$$ On peut distribuer les parenthèses et simplifier le résultat : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-6x-6\Delta x-8+6x+8}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-6\Delta x}{\Delta x} = -6$$
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