Dérivées

Rappelons tout d'abord que la dérivée de \(f\) en \(x\) - qui correspond à la pente de la tangente de \(f\) en \(x\) - est définie par l'expression suivante (cf. construction faite en cours) : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ Le terme \(f(x)\) est bien entendu donné ici par : $$ f({\color{red}{x}}) = \dfrac{1}{{\color{red}{x}}^{9}} $$ Evaluer \(f\) en \(x+\Delta x\) revient à remplacer \(x\) par \(x+\Delta x\), ainsi : $$ f({\color{red}{x+\Delta x}}) = \dfrac{1}{{(\color{red}{x+\Delta x}})^{9}} $$ Ainsi notre dérivée s'écrit : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\tfrac{1}{(x+\Delta x)^{9}} - \tfrac{1}{x^{9}}}{\Delta x}$$ Bien entendu, si l'on remplace brutalement \(\Delta x\) par zéro, on obtient une forme indéterminée, car le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 (ce qui est cohérent par construction de cette quantité). Il va donc falloir simplifier cette limite. Pour commencer, on mettre les deux fractions du numérateur au même dénominateur : $$\dfrac{1}{(x+\Delta x)^{9}} - \dfrac{1}{x^{9}} = \dfrac{x^{9}}{x^{9}(x+\Delta x)^{9}} - \dfrac{(x+\Delta x)^{9}}{x^{9}(x+\Delta x)^{9}} = \dfrac{x^{9}-(x+\Delta x)^{9}}{x^{9}(x+\Delta x)^{9}}$$ Ainsi notre dérivée peut s'écrire : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\tfrac{x^{9}-(x+\Delta x)^{9}}{x^{9}(x+\Delta x)^{9}}}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{x^{9}-(x+\Delta x)^{9}}{x^{9}(x+\Delta x)^{9}}\cdot \dfrac{1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{x^{9}-(x+\Delta x)^{9}}{x^{9}(x+\Delta x)^{9}\Delta x}$$Cette fraction ne peut pas être simplifiée pour le moment en raison de la soustraction au numérateur. Il est donc nécessaire de distribuer la parenthèse au numérateur afin de pouvoir réduire celui-ci : $$ (x+\Delta x)^{9} =(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)$$ Comme nous sommes flemmards, nous allons remettre à plus tard cette distributivité. Dans tous les cas, on sait que le résultat sera de la forme suivante : $$ (x+\Delta x)^{9} = x^{9} + c_1 \cdot x^{8}\cdot \Delta x+c_{2}\cdot x^{7}\cdot(\Delta x)^{2}+c_{3}\cdot x^{6}\cdot(\Delta x)^{3}+c_{4}\cdot x^{5}\cdot(\Delta x)^{4}+c_{5}\cdot x^{4}\cdot(\Delta x)^{5}+c_{6}\cdot x^{3}\cdot(\Delta x)^{6}+c_{7}\cdot x^{2}\cdot(\Delta x)^{7}+c_{8} \cdot x\cdot (\Delta x)^{8} + (\Delta x)^{9}$$ Dès lors : $$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{x^{9}-(x+\Delta x)^{9}}{x^{9}(x+\Delta x)^{9}\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{-c_1 \cdot x^{8}\cdot \Delta x-c_{2}\cdot x^{7}\cdot(\Delta x)^{2}-c_{3}\cdot x^{6}\cdot(\Delta x)^{3}-c_{4}\cdot x^{5}\cdot(\Delta x)^{4}-c_{5}\cdot x^{4}\cdot(\Delta x)^{5}-c_{6}\cdot x^{3}\cdot(\Delta x)^{6}-c_{7}\cdot x^{2}\cdot(\Delta x)^{7}-c_{8} \cdot x\cdot (\Delta x)^{8} - (\Delta x)^{9}}{x^{9}(x+\Delta x)^{9}\Delta x} \end{aligned}$$ Afin de pouvoir simplifier la fraction, on peut factoriser par \(\Delta x\) : $$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta x\cdot\left(-c_1 \cdot x^{8}-c_{2}\cdot x^{7}\cdot(\Delta x)^{}-c_{3}\cdot x^{6}\cdot(\Delta x)^{2}-c_{4}\cdot x^{5}\cdot(\Delta x)^{3}-c_{5}\cdot x^{4}\cdot(\Delta x)^{4}-c_{6}\cdot x^{3}\cdot(\Delta x)^{5}-c_{7}\cdot x^{2}\cdot(\Delta x)^{6}-c_{8} \cdot x\cdot (\Delta x)^{7} - (\Delta x)^{8}\right)}{x^{9}(x+\Delta x)^{9}\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{-c_1 \cdot x^{8}-c_{2}\cdot x^{7}\cdot(\Delta x)^{}-c_{3}\cdot x^{6}\cdot(\Delta x)^{2}-c_{4}\cdot x^{5}\cdot(\Delta x)^{3}-c_{5}\cdot x^{4}\cdot(\Delta x)^{4}-c_{6}\cdot x^{3}\cdot(\Delta x)^{5}-c_{7}\cdot x^{2}\cdot(\Delta x)^{6}-c_{8} \cdot x\cdot (\Delta x)^{7} - (\Delta x)^{8}}{x^{9}(x+\Delta x)^{9}} \end{aligned}$$ Cette limite n'est désormais plus sous une forme indéterminée et on obtient : $$ f'(x) = \dfrac{-c_1x^{8} - 0}{x^{9}(x+0)^{9}}=\dfrac{-c_1x^{8}}{x^{18}}= -\dfrac{c_1}{x^{10}}$$ Il était donc stratégique de ne pas calculer les coeficients dès le départ... car seul le coefficient \(c_1\) apparaît dans le résultat ! Le coefficient \(c_1\) est le coefficient qui multipliait initialement \(x^{8}\cdot \Delta x\) dans le polynôme $$ (x+\Delta x)^{9} = (x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta x)$$ Or ce terme s'obtient en prenant \(\Delta x\) dans une parenthèse et \(x\) dans toutes les autres. Comme il y a 9 parenthèses, il y a 9 manières de choisir dans quelle parenthèse est choisi \(\Delta x\), dès lors il y aura 9 termes \(x^{8}\cdot \Delta x\) qui s'additionnent et ainsi \(c_1=9\). Ainsi la dérivée de \(f\) est : $$ f'(x) = -\dfrac{9}{x^{10}}$$

Nouvel exemple