Dérivées

Objectif 7

Résoudre un problème d'optimisation. La démarche générale résumée se trouve dernière le bouton Corrigé, une activité pas à pas vous est proposé ci-dessous et 4 exercices se trouvent dans le support de cours.

Une activité pas à pas vous est proposée ici à cet effet.

Nouvel exemple

  • Tout d'abord, on identifie la quantité que l'on cherche à optimiser et si l'on cherche à minimiser ou maximiser cette quantité (p.ex. minimiser l'aire d'une canette cylindrique, minimiser le temps de parcours, maximiser l'aire sous un graphe, etc.).
  • Ensuite, on exprimer cette quantité à optimiser comme une fonction d'une seule variable (p.ex. l'aire de la canette exprimée uniquement en fonction de son rayon, le temps de parcours exprimé en fonction de l'endroit où on plonge, l'aire sous le graphe en fonction de la coordonnée \(x\), etc.).
  • On a ainsi une fonction d'une seule variable (p.ex. \(A(r)\), \(t(d)\), \(A(x)\), etc.) que l'on cherche à maximiser ou minimiser. Cela signifie que l'on cherche un maximum ou un minimum de cette fonction, donc des points où la tangente est horizontale, c'est-à-dire où la dérivée de la fonction est nulle. On calcule donc la dérivée de la fonction, puis on impose qu'elle soit nulle. Attention, cette fonction doit bien représenter la quantité que l'on cherche à optimiser et pas une autre fonction présente dans le problème !
  • On résoud l'équation à une inconnue ainsi obtenue.
  • On s'assure que la ou les réponses obtenues correspondent bien à l'extremum cherché (un minimum si l'on cherche un minimum ou un maximum si l'on cherche un maximum et pas l'inverse), par exemple en établisssant un petit tableau de variation.
  • On vérifie que l'on a répondu à la question, si tel n'est pas le cas, on calcule encore ce qui est demandé à partir du résultat obtenu.

Nouvel exemple

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