Le domaine est \(\mathbb{R}\). En effet, l'exponentielle est définie en tout point, de même qu'un polynôme.
On obtient l'intersection avec l'axe \(y\) en remplaçant \(x\) par zéro dans la fonction :
$$ f(0) = 0\cdot e^0 = 0 \quad \Rightarrow \quad I_y\left(0 ; 0\right)$$
On obtient l'intersection avec l'axe des \(x\) en posant \(f(x)=0\) :
$$ \left(-x^{2}+2x^{}\right)e^{-x^{}} = 0 $$
Comme l'exponentielle est toujours strictement positive, elle n'est en particulier jamais nulle, ainsi la seule possibilité pour que cette expression soit nulle est d'avoir :
$$ -x^{2}+2x^{} = 0 $$Il s'agit d'une équation du deuxième degré. Cette équation peut être factorisée par \(x\) :
$$ 0 = x\cdot (-x+2) $$
Il s'agit d'un produit de deux termes dont le résultat est nul, il y a ainsi deux possibilités :
soit \(x=0\) ;
soit \((-x+2)=0\).
Les deux solutions sont donc :
$$ x_1 = 2 \quad ; \quad x_2 = 0 $$Il y a donc deux points d'intersection avec l'axes des \(x\) qui sont :
$$I_{x0}( 2 ; 0)\quad ; \quad I_{x1}( -0 ; 0) $$
Il n'y a aucun exclu.
Astuce : comme l'exponentielle est toujours strictement positive, seul le polynôme peut modifier le signe, on peut donc se contenter de remplacer les valeurs entre les zéros trouvés seulement dans le polynôme plutôt que la fonction en entier.
$$ x $$
$$ $$
$$ 0 $$
$$ $$
$$ 2 $$
$$ $$
$$ f(x) $$
$$ - $$
$$ 0 $$
$$ + $$
$$ 0 $$
$$ - $$
Pour déterminer le comportement à l'infini, on peut commencer par calculer vers quelle limite tend notre fonction lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) et vers \(-\infty\), c'est-à-dire :
$$ \lim_{x\to +\infty} \left(\left(-x^{2}+2x^{}\right)e^{-x^{}}\right) \quad\text{et}\quad \lim_{x\to -\infty} \left(\left(-x^{2}+2x^{}\right)e^{-x^{}}\right)$$
Commençons par nous intéresser séparément à l'exponentielle d'une part et au polynôme d'autre part, ce pour chacune de ces deux limites. Nous avons pour l'exponentielle :
$$ \lim_{x\to +\infty}e^{-x^{}} = 0 \quad ; \quad \lim_{x\to -\infty}e^{-x^{}} = \infty$$
et pour le polynôme :
$$ \lim_{x\to +\infty}\left(-x^{2}+2x^{}\right) = -\infty \quad ; \quad \lim_{x\to -\infty}\left(-x^{2}+2x^{}\right) = -\infty$$
Dès lors, le comportement est clair lorsque \(x\to-\infty\), car on multiplie deux expressions qui deviennent de plus en plus grandes en magnitude. En tendant en compte des signes obtenus dans les limites ci-dessus, on a donc :
$$ \lim_{x\to-\infty} \left(\left(-x^{2}+2x^{}\right)e^{-x^{}}\right) = -\infty $$
En revanche lorsque \(x\to+\infty\), l'exponentielle tend vers 0 alors que le polynôme devient très grand en magnitude. Nous avons un conflit, car cela signifie qu'un nombre très grand multiplie un nombre très petit. Néanmoins, l'exponentielle converge plus vite que le polynôme vers sa limite, c'est pourquoi sa contribution domine et implique le résultat suivant :
$$ \lim_{x\to+\infty} \left(\left(-x^{2}+2x^{}\right)e^{-x^{}}\right) = 0 $$
Dès lors, nous avons une asymptote horizontale \(y = 0 \) valable uniquement d'un côté du graphe, lorsque \(x\to+\infty\)
La fonction \(f\) est le produit de deux fonctions :
$$ f(x) = u(x)\cdot v(x) \quad \text{avec}\quad u(x) = -x^{2}+2x^{} \quad \text{et}\quad v(x) = e^{-x^{}} $$
Sa dérivée est donnée par :
$$ f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) $$
Avec :
$$ u'(x) = -2x^{}+2 \quad ; \quad v'(x) = -e^{-x^{}} $$En effet, \(v(x)\) est une composition de la fonction \(b(x)=-x^{}\) qui se trouve à l'intérieur de la fonction \(a(y)=e^y\). Ainsi \(v'(x)\) est donnée par :
$$ v'(x) = a'(y)\cdot b'(x) = \left(e^y\right)' \cdot (-x^{})' = e^y \cdot \left(-1\right) = -e^{-x^{}}$$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par :
$$ f'(x) = \left(-2x^{}+2\right)e^{-x^{}}+ \left(-x^{2}+2x^{}\right)\left(-e^{-x^{}}\right) $$
On peut factoriser cette expression par \(e^{-x^{}}\), ce qui donne :
$$ f'(x) = \left[\left(-2x^{}+2\right) + \left(x^{2}-2x^{}\right)\right]e^{-x^{}} $$
En réduisant l'expression entre crochets, nous obtenons ainsi :
$$ f'(x) = \left(x^{2}-4x^{}+2\right)e^{-x^{}}$$
Pour établir le tableau de variation, il faut trouver les points à tangente horizontale, c'est-à-dire où la dérivée est nulle. Il faut donc poser \(f'(x)=0\) :
$$ \left(x^{2}-4x^{}+2\right)e^{-x^{}} = 0 $$
Comme l'exponentielle est toujours strictement positive, elle n'est en particulier jamais nulle, dès lors la seule possibilité que cette équation donne zéro est que le polynôme s'annule :
$$ x^{2}-4x^{}+2 = 0 $$Il s'agit d'une équation du deuxième degré qui peut être résolue par exemple en utilisant la formule de Viète. Les coefficients de cette équation sont :
$$ a = 1 \quad ; \quad b = -4 \quad ; \quad c = 2$$
Nous pouvons calculer le discriminant \(\Delta\) :
$$ \Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 2 = 8 $$Dans la mesure où \(\Delta>0\), cette équation admet deux solutions :
$$\begin{align}
x_1 & = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4-\sqrt{8}}{2\cdot 1} \cong 0.59\\
x_2 & = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4+\sqrt{8}}{2\cdot 1} \cong 3.41\end{align}$$Il y a donc deux points stationnaires qui sont :
$$( 0.59 ; 0.46)\quad ; \quad ( 3.41 ; -0.16) $$Nous pouvons désormais établir le tableau de variation à partir des zéros de la dérivée et des exclus (seuls endroits où la fonction peut passer de croissante à décroissante ou réciproquement) :
$$ x $$
$$0.59$$
$$3.41$$
$$ f'(x) $$
$$+$$
$$0$$
$$-$$
$$0$$
$$+$$
$$ f(x) $$
$$ \nearrow $$
$$\text{MAX}\left(0.59 ; 0.46\right)$$
$$ \searrow $$
$$\text{MIN}\left(3.41 ; -0.16\right)$$
$$ \nearrow $$
Pour tracer le graphe de \(f\), on place les intersections avec les axes, les trous, les asymptotes verticales, horizontales, obliques, les points à tangente horizontale (minima, maxima, paliers) et on s'approche correctement des asymptotes et en respectant le tableau des signes et de variation.
Le graphe ne s'affiche pas ou pas entièrement ? Copiez simplement l'équation suivante dans Geogebra :
y = (-x^2+2x)*exp(-x)
Remarque : il se peut qu'une partie intéressante du graphe sorte de la feuille, vérifier sur Geogebra en cas de doute !