Dérivées

Objectif 3

Utiliser les dérivées des fonctions élémentaires de l'objetctif 1 (ainsi que celle du logarithme naturel) et les trois propriétés de base suivantes pour calculer une dérivée : $$ \left(u(x)+v(x)\right)' = u'(x)+v'(x) \quad ; \quad \left(c\cdot u(x)\right)' = c\cdot u'(x) \quad ; \quad \left(x^p\right)' = px^{p-1}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables ainsi que \(c\) et \(p\) deux constantes réelles. Calculer la dérivée de la fonction suivante :$$ f(x) = 6\sqrt[2]{x}-10\ln(x)+4\sin(x)$$

Nouvel exemple

On remarque qu'on a ici une combinaison linéaire de 3 termes. On peut dériver chaque terme séparément. Commençons par le premier. Tout d'abord, on peut éviter la racine en utilisant une puissance fractionnaire : $$ \sqrt[2]{x} = x^{1/2} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{1/2}\right)' = \dfrac{1}{2}\cdot x^{-1/2} $$Dès lors : $$ \left(6\sqrt[2]{x}\right)' = 6\left(x^{1/2}\right)'= 6\left(\dfrac{1}{2}\cdot x^{-1/2}\right) = 3\cdot x^{-1/2} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que $$ x^{-1/2} = \dfrac{1}{x^{1/2}} = \dfrac{1}{\sqrt[2]{x^{}}} $$ Dès lors, la dérivée peut se réécrire : $$ \left(6\sqrt[2]{x}\right)' = \dfrac{3}{\sqrt[2]{x^{}}} $$Pour le 2ème terme, on obtient :$$ \left(-10\ln(x)\right)' = -10\left(\ln(x)\right)' = -10\dfrac{1}{x}=\dfrac{-10}{x}$$Pour le 3ème terme, on obtient :$$ \left(4\sin(x)\right)' = 4\left(\sin(x)\right)' = 4\cos(x)$$Ainsi la réponse finale est :$$ f'(x)= \dfrac{3}{\sqrt[2]{x^{}}}-\dfrac{10}{x}+4\cos(x) $$

Nouvel exemple

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