Utiliser les dérivées des fonctions élémentaires de l'objetctif 1 (ainsi que celle du logarithme naturel) et les trois propriétés de base suivantes pour calculer une dérivée : $$ \left(u(x)+v(x)\right)' = u'(x)+v'(x) \quad ; \quad \left(c\cdot u(x)\right)' = c\cdot u'(x) \quad ; \quad \left(x^p\right)' = px^{p-1}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables ainsi que \(c\) et \(p\) deux constantes réelles. Calculer la dérivée de la fonction suivante :$$ f(x) = \dfrac{10}{x^{3}}+5\cos(x)$$
On remarque qu'on a ici une combinaison linéaire de 2 termes. On peut dériver chaque terme séparément. Commençons par le premier. Tout d'abord, on peut éviter la fraction en utilisant une puissance négative : $$ \dfrac{10}{x^{3}} =10\cdot\dfrac{1}{x^{3}} =10x^{-3} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)' = -3x^{-4} $$Dès lors : $$ \left(\dfrac{10}{x^{3}}\right)' = 10\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)'= 10\left(-3x^{-4}\right) = -30x^{-4} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que \(x^{-4} = \frac{1}{x^{4}}\) : $$ \left(\dfrac{10}{x^{3}}\right)' = \dfrac{-30}{x^{4}} $$Pour le 2ème terme, on obtient :$$ \left(5\cos(x)\right)' = 5\left(\cos(x)\right)' = 5(-\sin(x))$$Ainsi la réponse finale est :$$ f'(x)= \dfrac{-30}{x^{4}}-5\sin(x) $$
Copyright © Olivier Simon 2011-2025