Dérivées

Objectif 2

A partir de la définition de la dérivée, calculer la dérivée d'une fonction élémentaire. Calculer la dérivée de la fonction \(f : \mathbb{R}^{*}_{+}\to\mathbb{R}\) dont l'expression fonctionnelle est :$$ f(x) = \sqrt{x}$$

Nouvel exemple

Rappelons tout d'abord que la dérivée de \(f\) en \(x\) - qui correspond à la pente de la tangente de \(f\) en \(x\) - est définie par l'expression suivante (cf. construction faite en cours) : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ Le terme \(f(x)\) est bien entendu donné ici par : $$ f({\color{red}{x}}) = \sqrt{{\color{red}{x}}}$$ Evaluer \(f\) en \(x+\Delta x\) revient à remplacer \(x\) par \(x+\Delta x\), ainsi : $$ f({\color{red}{x+\Delta x}}) = \sqrt{{\color{red}{x+\Delta x}}}$$ Ainsi notre dérivée s'écrit : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+\Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$$ Bien entendu, si l'on remplace brutalement \(\Delta x\) par zéro, on obtient une forme indéterminée, car le numérateur et le dénominateur tendent vers 0 (ce qui est cohérent par construction de cette quantité). Il va donc falloir simplifier cette limite. Le problème principal est que la soustraction des deux racines au numérateur. Rappelons bien entendu que $$ \sqrt{a+b} - \sqrt{a} {\color{red}{\neq}} \sqrt{b}$$ Il suffit de tester avec \(a=9\) et \(b=16\) pour s'en convaincre, par exemple. Afin d'éviter ce problème, on peut multiplifier par un 1 intelligent : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+\Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+\Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x} \cdot \dfrac{\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x}}$$ En effet, nous avons ainsi une identité remarquable au numérateur : $$\left(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}\right) = \sqrt{x+\Delta x}^2 \underbrace{- \sqrt{x+\Delta x}\cdot\sqrt{x}+ \sqrt{x+\Delta x}\cdot\sqrt{x}}_{=0}-\sqrt{x}^2 = (x+\Delta x)-x = \Delta x $$ Notre numérateur est ainsi grandement simplifié et notre dérivée devient : $$ f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta x \left(\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x}\right)} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x}}$$ Le dénominateur est certes plus complexe qu'au départ... mais la forme de cette limite n'est plus indéterminée ! En effet, le numérateur et le dénominateur ne tendent plus vers 0. Dès lors, on peut aisément calculer cette limite : $$ f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}}= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$

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