Dérivées

Objectif 5

Déterminer l'équation de la droite tangente au graphe d'une fonction et passant par un point donné se trouvant ou non sur cette fonction. Déterminer l'équation de la droite tangente à \(f\) au point d'abscisse \(x=6\) avec :$$ f(x) = -8\sin(x)$$

Nouvel exemple

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=6\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=6\), c'est-à-dire : $$ m = f'(6) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). $$ \left(-8\sin(x)\right)' = -8\left(\sin(x)\right)' = -8\cos(x)$$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par (attention de ne pas oublier de mettre votre calculatrice en radians !) :$$ f'(x)= -8\cos(x) $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(6) \cong -7.68 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=6\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((6;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(6) \cong 2.24 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = -7.68x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((6;2.24)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ 2.24 = -7.68\cdot 6+h \quad \Rightarrow \quad h \cong 48.3$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = -7.68x+48.3$$

Nouvel exemple

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