Dérivées

Objectif 4

Utiliser la dérivée d'un produit, d'un quotient ou d'une composistion de deux fonctions pour calculer une dérivée : $$\begin{align} \left(u(x)\cdot v(x)\right)' &= u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' &= \frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}\\ \left(u(v(x))\right)' &= u'(v(x))\cdot v'(x) \end{align}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables. Calculer la dérivée de la fonction suivante : $$ f(x) = \frac{2}{\left(\ln(x)\right)^{2}}$$

Nouvel exemple

Nous constatons que nous avons une composition de fonction, en l'occurrence la fonction \(v(x)=\ln(x)\) qui est imbriquée dans la fonction \(u(x)=\frac{2}{x^{2}}\). Pour y voir plus clair, on peut poser \(z = v(x)\) et ainsi on a : $$ u(z) = \frac{2}{z^{2}} \quad ; \quad z = v(x) = \ln(x) \quad ; \quad f(x) = u(v(x))$$ La dérivée de \(f(x)\) est donnée par : $$ f'(x) = u'(z)\cdot v'(x)$$ On a ainsi : $$ u'(z) = \frac{-4}{z^{3}}$$ et $$ v'(x) = \frac{1}{x}$$ Ainsi : $$ f'(x) = \frac{-4}{z^{3}}\cdot \left(\frac{1}{x}\right)$$ En substituant \(z=\ln(x)\), on obtient donc : $$ f'(x) = \frac{-4}{\left(\ln(x)\right)^{3}}\cdot\left(\frac{1}{x}\right) $$ Nous pouvons encore simplifier cette expression :$$ f'(x) = \dfrac{-4}{\left(\ln(x)\right)^{3}x} $$

Nouvel exemple

Copyright © Olivier Simon 2011-2021