Utiliser la dérivée d'un produit, d'un quotient ou d'une composistion de deux fonctions pour calculer une dérivée : $$\begin{align} \left(u(x)\cdot v(x)\right)' &= u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' &= \frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}\\ \left(u(v(x))\right)' &= u'(v(x))\cdot v'(x) \end{align}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables. Calculer la dérivée de la fonction suivante : $$ f(x) = \sqrt{x}\cdot \ln(x)$$
Nous constatons que nous avons un produit de deux fonctions, en l'occurrence le produit entre la fonction \(u(x)=\sqrt{x}\) et la fonction \(v(x)=\ln(x)\). La dérivée de \(f(x)\) est donnée par : $$ f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)$$ Avec : $$ u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ et $$ v'(x) = \frac{1}{x}$$ Ainsi : $$ f'(x) = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\cdot \ln(x) + \sqrt{x}\cdot \left(\frac{1}{x}\right) $$Il est possible que le résultat puisse encore se simplifier. Nous laissons le soin à l'étudiant-e de faire le nécessaire et cette option sera ajoutée ces prochains jours.
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