Utiliser les dérivées des fonctions élémentaires de l'objetctif 1 (ainsi que celle du logarithme naturel) et les trois propriétés de base suivantes pour calculer une dérivée : $$ \left(u(x)+v(x)\right)' = u'(x)+v'(x) \quad ; \quad \left(c\cdot u(x)\right)' = c\cdot u'(x) \quad ; \quad \left(x^p\right)' = px^{p-1}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables ainsi que \(c\) et \(p\) deux constantes réelles. Calculer la dérivée de la fonction suivante :$$ f(x) = \dfrac{-5}{\sqrt[4]{x}}-\ln(x)+8\ln(x)$$
On remarque qu'on a ici une combinaison linéaire de 3 termes. On peut dériver chaque terme séparément. Commençons par le premier. Tout d'abord, on peut éviter la racine en utilisant une puissance fractionnaire : $$ \dfrac{-5}{\sqrt[4]{x}} = \dfrac{-5}{x^{1/4}} $$Ensuite, on peut éviter la fraction en utilisant une puissance négative : $$ \dfrac{-5}{x^{1/4}} =-5\cdot\dfrac{1}{x^{-1/4}} =-5x^{-1/4} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{-1/4}\right)' = -\dfrac{1}{4}\cdot x^{-5/4} $$Dès lors : $$ \left(\dfrac{-5}{\sqrt[4]{x}}\right)' = -5\left(x^{-1/4}\right)'= -5\left(-\dfrac{1}{4}\cdot x^{-5/4}\right) = \dfrac{5}{4}\cdot x^{-5/4} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que $$ x^{-5/4} = \dfrac{1}{x^{5/4}} = \dfrac{1}{x^{5\cdot\tfrac{1}{4}}}= \dfrac{1}{\left(x^{5}\right)^{1/4}}= \dfrac{1}{\sqrt[4]{x^{5}}} $$ Dès lors, la dérivée peut se réécrire : $$ \left(\dfrac{-5}{\sqrt[4]{x}}\right)' = \dfrac{5}{4\sqrt[4]{x^{5}}} $$Pour le 2ème terme, on obtient :$$ \left(-\ln(x)\right)' = -\left(\ln(x)\right)' = -\dfrac{1}{x}=\dfrac{-1}{x}$$Pour le 3ème terme, on obtient :$$ \left(8\ln(x)\right)' = 8\left(\ln(x)\right)' = 8\dfrac{1}{x}=\dfrac{8}{x}$$Ainsi la réponse finale est :$$ f'(x)= \dfrac{5}{4\sqrt[4]{x^{5}}}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{8}{x} $$
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