Utiliser les dérivées des fonctions élémentaires de l'objetctif 1 (ainsi que celle du logarithme naturel) et les trois propriétés de base suivantes pour calculer une dérivée : $$ \left(u(x)+v(x)\right)' = u'(x)+v'(x) \quad ; \quad \left(c\cdot u(x)\right)' = c\cdot u'(x) \quad ; \quad \left(x^p\right)' = px^{p-1}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables ainsi que \(c\) et \(p\) deux constantes réelles. Calculer la dérivée de la fonction suivante :$$ f(x) = \dfrac{1}{x^{2}}+9\cos(x)-9e^x$$
On remarque qu'on a ici une combinaison linéaire de 3 termes. On peut dériver chaque terme séparément. Commençons par le premier. Tout d'abord, on peut éviter la fraction en utilisant une puissance négative : $$ \dfrac{1}{x^{2}} =x^{-2} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)' = -2x^{-3} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que \(x^{-3} = \frac{1}{x^{3}}\) : $$ \left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)' = \dfrac{-2}{x^{3}} $$Pour le 2ème terme, on obtient :$$ \left(9\cos(x)\right)' = 9\left(\cos(x)\right)' = 9(-\sin(x))$$Pour le 3ème terme, on obtient :$$ \left(-9e^x\right)' = -9\left(e^x\right)' = -9e^x$$Ainsi la réponse finale est :$$ f'(x)= \dfrac{-2}{x^{3}}-9\sin(x)-9e^x $$
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