Utiliser les dérivées des fonctions élémentaires de l'objetctif 1 (ainsi que celle du logarithme naturel) et les trois propriétés de base suivantes pour calculer une dérivée : $$ \left(u(x)+v(x)\right)' = u'(x)+v'(x) \quad ; \quad \left(c\cdot u(x)\right)' = c\cdot u'(x) \quad ; \quad \left(x^p\right)' = px^{p-1}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables ainsi que \(c\) et \(p\) deux constantes réelles. Calculer la dérivée de la fonction suivante :$$ f(x) = \dfrac{9}{x^{2}}-7\cos(x)$$
On remarque qu'on a ici une combinaison linéaire de 2 termes. On peut dériver chaque terme séparément. Commençons par le premier. Tout d'abord, on peut éviter la fraction en utilisant une puissance négative : $$ \dfrac{9}{x^{2}} =9\cdot\dfrac{1}{x^{2}} =9x^{-2} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)' = -2x^{-3} $$Dès lors : $$ \left(\dfrac{9}{x^{2}}\right)' = 9\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)'= 9\left(-2x^{-3}\right) = -18x^{-3} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que \(x^{-3} = \frac{1}{x^{3}}\) : $$ \left(\dfrac{9}{x^{2}}\right)' = \dfrac{-18}{x^{3}} $$Pour le 2ème terme, on obtient :$$ \left(-7\cos(x)\right)' = -7\left(\cos(x)\right)' = -7(-\sin(x))$$Ainsi la réponse finale est :$$ f'(x)= \dfrac{-18}{x^{3}}+7\sin(x) $$
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