Utiliser les dérivées des fonctions élémentaires de l'objetctif 1 (ainsi que celle du logarithme naturel) et les trois propriétés de base suivantes pour calculer une dérivée : $$ \left(u(x)+v(x)\right)' = u'(x)+v'(x) \quad ; \quad \left(c\cdot u(x)\right)' = c\cdot u'(x) \quad ; \quad \left(x^p\right)' = px^{p-1}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables ainsi que \(c\) et \(p\) deux constantes réelles. Calculer la dérivée de la fonction suivante :$$ f(x) = \dfrac{2}{\sqrt[2]{x}}-\sin(x)+4e^x$$
On remarque qu'on a ici une combinaison linéaire de 3 termes. On peut dériver chaque terme séparément. Commençons par le premier. Tout d'abord, on peut éviter la racine en utilisant une puissance fractionnaire : $$ \dfrac{2}{\sqrt[2]{x}} = \dfrac{2}{x^{1/2}} $$Ensuite, on peut éviter la fraction en utilisant une puissance négative : $$ \dfrac{2}{x^{1/2}} =2\cdot\dfrac{1}{x^{-1/2}} =2x^{-1/2} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{-1/2}\right)' = -\dfrac{1}{2}\cdot x^{-3/2} $$Dès lors : $$ \left(\dfrac{2}{\sqrt[2]{x}}\right)' = 2\left(x^{-1/2}\right)'= 2\left(-\dfrac{1}{2}\cdot x^{-3/2}\right) = -1\cdot x^{-3/2} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que $$ x^{-3/2} = \dfrac{1}{x^{3/2}} = \dfrac{1}{\sqrt[2]{x^{3}}} $$ Dès lors, la dérivée peut se réécrire : $$ \left(\dfrac{2}{\sqrt[2]{x}}\right)' = \dfrac{-1}{\sqrt[2]{x^{3}}} $$Pour le 2ème terme, on obtient :$$ \left(-\sin(x)\right)' = -\left(\sin(x)\right)' = -\cos(x)$$Pour le 3ème terme, on obtient :$$ \left(4e^x\right)' = 4\left(e^x\right)' = 4e^x$$Ainsi la réponse finale est :$$ f'(x)= \dfrac{-1}{\sqrt[2]{x^{3}}}-\cos(x)+4e^x $$
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