Dérivées

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=3\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=3\), c'est-à-dire : $$ m = f'(3) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). Tout d'abord, on peut éviter la racine en utilisant une puissance fractionnaire : $$ \sqrt[4]{x} = x^{1/4} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{1/4}\right)' = \dfrac{1}{4}\cdot x^{-3/4} $$Dès lors : $$ \left(10\sqrt[4]{x}\right)' = 10\left(x^{1/4}\right)'= 10\left(\dfrac{1}{4}\cdot x^{-3/4}\right) = \dfrac{5}{2}\cdot x^{-3/4} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que $$ x^{-3/4} = \dfrac{1}{x^{3/4}} = \dfrac{1}{x^{3\cdot\tfrac{1}{4}}}= \dfrac{1}{\left(x^{3}\right)^{1/4}}= \dfrac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}} $$ Dès lors, la dérivée peut se réécrire : $$ \left(10\sqrt[4]{x}\right)' = \dfrac{5}{2\sqrt[4]{x^{3}}} $$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par :$$ f'(x)= \dfrac{5}{2\sqrt[4]{x^{3}}} $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(3) \cong 1.1 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=3\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((3;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(3) \cong 13.2 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = 1.1x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((3;13.2)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ 13.2 = 1.1\cdot 3+h \quad \Rightarrow \quad h \cong 9.87$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = 1.1x+9.87$$

Nouvel exemple