Dérivées

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=5\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=5\), c'est-à-dire : $$ m = f'(5) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). $$ \left(9\cos(x)\right)' = 9\left(\cos(x)\right)' = 9(-\sin(x))$$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par (attention de ne pas oublier de mettre votre calculatrice en radians !) :$$ f'(x)= -9\sin(x) $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(5) \cong -2.55 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=5\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((5;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(5) \cong 2.55 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = -2.55x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((5;2.55)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ 2.55 = -2.55\cdot 5+h \quad \Rightarrow \quad h \cong 15.3$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = -2.55x+15.3$$

Nouvel exemple