Dérivées

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=7\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=7\), c'est-à-dire : $$ m = f'(7) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). Tout d'abord, on peut éviter la racine en utilisant une puissance fractionnaire : $$ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{1/3}\right)' = \dfrac{1}{3}\cdot x^{-2/3} $$Dès lors : $$ \left(9\sqrt[3]{x}\right)' = 9\left(x^{1/3}\right)'= 9\left(\dfrac{1}{3}\cdot x^{-2/3}\right) = 3\cdot x^{-2/3} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que $$ x^{-2/3} = \dfrac{1}{x^{2/3}} = \dfrac{1}{x^{2\cdot\tfrac{1}{3}}}= \dfrac{1}{\left(x^{2}\right)^{1/3}}= \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} $$ Dès lors, la dérivée peut se réécrire : $$ \left(9\sqrt[3]{x}\right)' = \dfrac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}} $$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par :$$ f'(x)= \dfrac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}} $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(7) \cong 0.82 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=7\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((7;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(7) \cong 17.2 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = 0.82x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((7;17.2)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ 17.2 = 0.82\cdot 7+h \quad \Rightarrow \quad h \cong 11.5$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = 0.82x+11.5$$

Nouvel exemple