Déterminer l'équation de la droite tangente au graphe d'une fonction et passant par un point donné se trouvant ou non sur cette fonction. Déterminer l'équation de la droite tangente à \(f\) au point d'abscisse \(x=1\) avec :$$ f(x) = x^{3}$$
L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=1\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=1\), c'est-à-dire : $$ m = f'(1) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{3}\right)' = 3x^{2} $$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par :$$ f'(x)= 3x^{2} $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(1) = 3 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=1\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((1;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(1) = 1 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = 3x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((1;1)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ 1 = 3\cdot 1+h \quad \Rightarrow \quad h = -2$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = 3x-2$$
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