Dérivées

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=7\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=7\), c'est-à-dire : $$ m = f'(7) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{2}\right)' = 2x^{} $$Dès lors : $$ \left(6x^{2}\right)' = 6\left(x^{2}\right)'= 6\left(2x^{}\right) = 12x^{} $$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par :$$ f'(x)= 12x^{} $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(7) = 84 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=7\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((7;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(7) = 294 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = 84x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((7;294)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ 294 = 84\cdot 7+h \quad \Rightarrow \quad h = -294$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = 84x-294$$

Nouvel exemple