Dérivées

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=5\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=5\), c'est-à-dire : $$ m = f'(5) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). Tout d'abord, on peut éviter la racine en utilisant une puissance fractionnaire : $$ \dfrac{-9}{\sqrt[3]{x}} = \dfrac{-9}{x^{1/3}} $$Ensuite, on peut éviter la fraction en utilisant une puissance négative : $$ \dfrac{-9}{x^{1/3}} =-9\cdot\dfrac{1}{x^{-1/3}} =-9x^{-1/3} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{-1/3}\right)' = -\dfrac{1}{3}\cdot x^{-4/3} $$Dès lors : $$ \left(\dfrac{-9}{\sqrt[3]{x}}\right)' = -9\left(x^{-1/3}\right)'= -9\left(-\dfrac{1}{3}\cdot x^{-4/3}\right) = 3\cdot x^{-4/3} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que $$ x^{-4/3} = \dfrac{1}{x^{4/3}} = \dfrac{1}{x^{4\cdot\tfrac{1}{3}}}= \dfrac{1}{\left(x^{4}\right)^{1/3}}= \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}} $$ Dès lors, la dérivée peut se réécrire : $$ \left(\dfrac{-9}{\sqrt[3]{x}}\right)' = \dfrac{3}{\sqrt[3]{x^{4}}} $$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par :$$ f'(x)= \dfrac{3}{\sqrt[3]{x^{4}}} $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(5) \cong 0.351 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=5\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((5;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(5) \cong -5.26 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = 0.351x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((5;-5.26)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ -5.26 = 0.351\cdot 5+h \quad \Rightarrow \quad h \cong -7.02$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = 0.351x-7.02$$

Nouvel exemple