Dérivées

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=6\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=6\), c'est-à-dire : $$ m = f'(6) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). Tout d'abord, on peut éviter la racine en utilisant une puissance fractionnaire : $$ \dfrac{-9}{\sqrt[2]{x}} = \dfrac{-9}{x^{1/2}} $$Ensuite, on peut éviter la fraction en utilisant une puissance négative : $$ \dfrac{-9}{x^{1/2}} =-9\cdot\dfrac{1}{x^{-1/2}} =-9x^{-1/2} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{-1/2}\right)' = -\dfrac{1}{2}\cdot x^{-3/2} $$Dès lors : $$ \left(\dfrac{-9}{\sqrt[2]{x}}\right)' = -9\left(x^{-1/2}\right)'= -9\left(-\dfrac{1}{2}\cdot x^{-3/2}\right) = \dfrac{9}{2}\cdot x^{-3/2} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que $$ x^{-3/2} = \dfrac{1}{x^{3/2}} = \dfrac{1}{\sqrt[2]{x^{3}}} $$ Dès lors, la dérivée peut se réécrire : $$ \left(\dfrac{-9}{\sqrt[2]{x}}\right)' = \dfrac{9}{2\sqrt[2]{x^{3}}} $$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par :$$ f'(x)= \dfrac{9}{2\sqrt[2]{x^{3}}} $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(6) \cong 0.306 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=6\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((6;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(6) \cong -3.67 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = 0.306x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((6;-3.67)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ -3.67 = 0.306\cdot 6+h \quad \Rightarrow \quad h \cong -5.51$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = 0.306x-5.51$$

Nouvel exemple