Dérivées

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=10\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=10\), c'est-à-dire : $$ m = f'(10) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). $$ \left(5\ln(x)\right)' = 5\left(\ln(x)\right)' = 5\dfrac{1}{x}=\dfrac{5}{x}$$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par :$$ f'(x)= \dfrac{5}{x} $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(10) = 0.5 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=10\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((10;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(10) \cong 11.5 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = 0.5x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((10;11.5)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ 11.5 = 0.5\cdot 10+h \quad \Rightarrow \quad h \cong 6.51$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = 0.5x+6.51$$

Nouvel exemple