Dérivées

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=3\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=3\), c'est-à-dire : $$ m = f'(3) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). $$ \left(-4\sin(x)\right)' = -4\left(\sin(x)\right)' = -4\cos(x)$$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par (attention de ne pas oublier de mettre votre calculatrice en radians !) :$$ f'(x)= -4\cos(x) $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(3) \cong 3.96 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=3\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((3;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(3) \cong -0.564 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = 3.96x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((3;-0.564)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ -0.564 = 3.96\cdot 3+h \quad \Rightarrow \quad h \cong -12.4$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = 3.96x-12.4$$

Nouvel exemple