Dérivées

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=4\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=4\), c'est-à-dire : $$ m = f'(4) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). Tout d'abord, on peut éviter la fraction en utilisant une puissance négative : $$ \dfrac{4}{x^{3}} =4\cdot\dfrac{1}{x^{3}} =4x^{-3} $$ La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)' = -3x^{-4} $$Dès lors : $$ \left(\dfrac{4}{x^{3}}\right)' = 4\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)'= 4\left(-3x^{-4}\right) = -12x^{-4} $$On peut ensuite réécrire notre résultat en utilisant que \(x^{-4} = \frac{1}{x^{4}}\) : $$ \left(\dfrac{4}{x^{3}}\right)' = \dfrac{-12}{x^{4}} $$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par :$$ f'(x)= \dfrac{-12}{x^{4}} $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(4) \cong -0.0469 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=4\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((4;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(4) \cong 0.0625 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = -0.0469x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((4;0.0625)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ 0.0625 = -0.0469\cdot 4+h \quad \Rightarrow \quad h = 0.25$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = -0.0469x+0.25$$

Nouvel exemple