Dérivées

L'équation d'une droite non verticale, donc d'une fonction affine, est donnée par : $$ y = mx+h $$ avec \(m\) la pente et \(h\) l'ordonnée à l'origine. La pente de la tangente au graphe de \(f\) en \(x=5\) est, par définition, donnée par la dérivée de \(f\) évaluée en \(x=5\), c'est-à-dire : $$ m = f'(5) $$ Il faut donc tout d'abord calculer la dérivée de \(f\). La dérivée de la puissance est donnée par :$$ \left(x^{3}\right)' = 3x^{2} $$Dès lors : $$ \left(-3x^{3}\right)' = -3\left(x^{3}\right)'= -3\left(3x^{2}\right) = -9x^{2} $$Ainsi la dérivée de \(f\) est donnée par :$$ f'(x)= -9x^{2} $$ et la pente de la tangente cherchée vaut : $$ m = f'(5) = -225 $$ On ne connaît pas l'ordonnée à l'origine \(h\) de notre tangente. En revanche, on sait que notre droite est tangente à \(f\) au point dont l'abscisse est \(x=5\). Cela signifie que la droite et la fonction passent par un même point \((5;y)\). On peut donc trouver \(y\) à l'aide de \(f\) : $$ f(5) = -375 $$ Dès lors, notre droite a pour l'instant une équation donnée par : $$ y = -225x+h $$ avec \(h\) inconnu, et passant par le point \((5;-375)\). On peut donc substituer ce point dans cette équation pour trouver \(h\) : $$ -375 = -225\cdot 5+h \quad \Rightarrow \quad h = 750$$ Ainsi l'équation de la tangente est : $$ y = -225x+750$$

Nouvel exemple