On peut commencer par factoriser tout ce qui peut l'être :
$$ f(x) = \dfrac{2x^2-4x-6}{x^2+x-20} = \dfrac{2(x+1)(x-3)}{(x+5)(x-4)} $$
En effet, la forme factorisée sera probablement plus pratique pour trouver les zéros, les exclus, les signes, etc. alors que la forme développée sera probablement plus adaptée au comportement lorsque \(x\) tend vers \(\pm\infty\)
La fonction n'est pas définie lorsque \(x\) vaut \(-5\), ni lorsque \(x\) vaut \(4\), car on a une division par zéro. Le domaine est donc :
$$ D_f = \mathbb{R}\setminus\{-5;4\} $$
La fonction intersecte l'axe \(y\) en un point \((0;y)\). Pour trouver ce point, il suffit de remplacer \(x\) par zéro dans la fonction. On obtient alors :
$$ f(0) = \dfrac{3}{10} \quad\Rightarrow\quad I_y\left(0;\dfrac{3}{10}\right)$$
La fonction intersecte (possiblement) l'axe \(x\) en un (ou des) point(s) \((x;0)\). Pour trouver ce(s) point(s), il suffit de poser \(y=f(x)=0\) :
$$\begin{array}{rcl|l}
f(x) & = & 0 &\\
\dfrac{2(x+1)(x-3)}{(x+5)(x-4)} & = & 0 & \cdot (x+5)(x-4)\\
2(x+1)(x-3) & = & 0 &
\end{array}$$Cette équation a deux solutions, \(x_1=-1\) et \(x_2=3\). Comme \(-1\) fait bien partie du domaine, on a donc une intersection avec l'axe \(x\) en \(x=-1\) :
$$ I_{x1}\left(-1;0\right) $$
Comme \(3\) fait bien partie du domaine, on a donc une intersection avec l'axe \(x\) en \(x=3\) :
$$ I_{x2}\left(3;0\right) $$
Il faut calculer la limite proche des exclus. Nous avons ici deux exclus, \(x=-5\) et \(x=4\).
La limite autour de \(x=-5\) donne :$$ \lim_{x\to -5} f(x) = \lim_{x\to -5} \dfrac{2(x+1)(x-3)}{(x+5)(x-4)} \text{ n'existe pas}$$
En effet, le numérateur tend vers une constante non nulle et le dénominateur vers zéro, le résultat de cette expression va donc devenir de plus en plus grand en magnitude. Il faut calculer séparément la limite à gauche et à droite pour déterminer le signe. On obtient à gauche :$$ \lim_{x\stackrel{<}{\to} -5} f(x) = \lim_{x\stackrel{<}{\to} -5} \dfrac{2(x+1)(x-3)}{(x+5)(x-4)} = +\infty$$
car :
$$ \lim_{x\to -5} \left(2(x+1)(x-3)\right) = 64$$
$$ \lim_{x\stackrel{<}{\to} -5} \left((x+5)(x-4)\right) = 0^{+}$$
A droite, on obtient :
$$ \lim_{x\stackrel{>}{\to} -5} f(x) = \lim_{x\stackrel{>}{\to} -5} \dfrac{2(x+1)(x-3)}{(x+5)(x-4)} = -\infty$$
car :
$$ \lim_{x\to -5} \left(2(x+1)(x-3)\right) = 64$$
$$ \lim_{x\stackrel{>}{\to} -5} \left((x+5)(x-4)\right) = 0^{-}$$
On a donc une asymptote verticale d'équation :
$$ \text{A.V. } : x = -5 $$
La limite autour de \(x=4\) donne :$$ \lim_{x\to 4} f(x) = \lim_{x\to 4} \dfrac{2(x+1)(x-3)}{(x+5)(x-4)} \text{ n'existe pas}$$
En effet, le numérateur tend vers une constante non nulle et le dénominateur vers zéro, le résultat de cette expression va donc devenir de plus en plus grand en magnitude. Il faut calculer séparément la limite à gauche et à droite pour déterminer le signe. On obtient à gauche :$$ \lim_{x\stackrel{<}{\to} 4} f(x) = \lim_{x\stackrel{<}{\to} 4} \dfrac{2(x+1)(x-3)}{(x+5)(x-4)} = -\infty$$
car :
$$ \lim_{x\to 4} \left(2(x+1)(x-3)\right) = 10$$
$$ \lim_{x\stackrel{<}{\to} 4} \left((x+5)(x-4)\right) = 0^{-}$$
A droite, on obtient :
$$ \lim_{x\stackrel{>}{\to} 4} f(x) = \lim_{x\stackrel{>}{\to} 4} \dfrac{2(x+1)(x-3)}{(x+5)(x-4)} = +\infty$$
car :
$$ \lim_{x\to 4} \left(2(x+1)(x-3)\right) = 10$$
$$ \lim_{x\stackrel{>}{\to} 4} \left((x+5)(x-4)\right) = 0^{+}$$
On a donc une asymptote verticale d'équation :
$$ \text{A.V. } : x = 4 $$
Pour établir le tableau des signes, on place les exclus et les zéros (il n'est pas nécessaire de mettre les trous si leur ordonnée n'est pas nulle, mais on peut les mettre si souhaité). On obtient :
$$ x $$
$$-5$$
$$-1$$
$$3$$
$$4$$
$$ f(x) $$
$$+$$
$$\text{A.V.}$$
$$-$$
$$0$$
$$+$$
$$0$$
$$-$$
$$\text{A.V.}$$
$$+$$
Pour obtenir les signes des cases situées entre deux points particuliers, on a simplement remplacé dans la fonction un nombre \(x\) quelconque se trouvant entre ces deux cases et on a regardé le signe de \(f\).
On commence par comparer les degrés du polynôme formant le dénominateur avec le polynône formant le numérateur. Le degré du numérateur est égal au degré du numérateur, ainsi la fonction tendra vers une constante lorsque \(x\) tendra vers \(\pm\infty\) :
$$ \lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2-4x-6}{x^2+x-20} = \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^{2}}{x^{2}} = 2$$
On a donc une asymptote horizontale d'équation :
$$\text{A.H. }: y = 2$$
Dériver \(f\) revient à dériver un quotient. En effet, \(f(x)\) peut s'écrire :
$$ f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} $$
avec
$$ u(x) = 2x^2-4x-6 \quad ; \quad v(x) = x^2+x-20$$
La dérivée d'un tel quotient est donnée par :
$$ f'(x) = \dfrac{u'(x)\cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2)} $$
avec
$$ u'(x) = 4x-4 \quad ; \quad v'(x) = 2x+1$$
La dérivée de \(f\) est donc donnée par :
$$ f'(x) = \dfrac{\left(4x-4\right)\cdot \left(x^2+x-20\right) - \left(2x^2-4x-6\right)\cdot \left(2x+1\right)}{\left(x^2+x-20\right)^2}$$
Il est possible de distribuer puis de réduire le numérateur (avant de tout distribuer, ayez le réflexe de regarder si par hasard il est possible de mettre un terme en évidence, cela vous fera gagner un temps précieux !), ce qui nous donne au final :
$$ f'(x) = \dfrac{6x^2-68x+86}{\left(x^2+x-20\right)^2}$$
Pour obtenir le tableau de variation, il faut tout d'abord chercher les zéros de la dérivée :
$$ f'(x) = \dfrac{6x^2-68x+86}{\left(x^2+x-20\right)^2} = 0$$
La seule possibilité d'obtenir zéro est que le numérateur soit égal à zéro. Cela revient à poser : $$ 6x^2-68x+86 = 0 $$
Il s'agit d'une équation du deuxième degré. On peut la résoudre, par exemple en utilisant la formule de Viète, avec :
$$ a = 6 \quad ; \quad b = -68 \quad ; \quad c = 86 $$
$$ \Delta = b^4-4ac = (-68)^2 - 4\cdot (6)\cdot (86) = 2560$$
Comme \(\Delta>0\), cette équation possède deux solutions :
$$\begin{align}
x_1 & = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{68-\sqrt{2560}}{2\cdot (6)} = 1.45\\
x_2 & = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{68+\sqrt{2560}}{2\cdot (6)} = 9.88
\end{align}$$
La fonction \(f\) possède donc deux points stationnaires :
Dans la mesure où il ne s'agit pas d'un exclu, la fonction \(f\) possède un point stationnaire en : $$x_{1}\cong 1.45 $$
Dans la mesure où il ne s'agit pas d'un exclu, la fonction \(f\) possède un point stationnaire en : $$x_{2}\cong 9.88 $$
Nous pouvons désormais établir le tableau de variation à partir des zéros de la dérivée et des exclus (seuls endroits où la fonction peut passer de croissante à décroissante ou réciproquement) :
$$ x $$
$$-5$$
$$1.45$$
$$4$$
$$9.88$$
$$ f'(x) $$
$$+$$
$$\emptyset$$
$$+$$
$$0$$
$$-$$
$$\emptyset$$
$$-$$
$$0$$
$$+$$
$$ f(x) $$
$$ \nearrow $$
$$\text{A.V.}$$
$$ \nearrow $$
$$\text{MAX}\left(1.45 ; 0.46\right)$$
$$ \searrow $$
$$\text{A.V.}$$
$$ \searrow $$
$$\text{MIN}\left(9.88 ; 1.71\right)$$
$$ \nearrow $$
Remarque : les coordonnées des points stationnaires (minima, maxima ou paliers) ont été obtenues en remplaçant les valeurs correspondantes de \(x\) dans \(f(x)\).
Pour tracer le graphe de \(f\), on place les intersections avec les axes, les trous, les asymptotes verticales, horizontales, obliques, les points à tangente horizontale (minima, maxima, paliers) et on s'approche correctement des asymptotes et en respectant le tableau des signes et de variation.
Le graphe ne s'affiche pas ou pas entièrement ? Copiez simplement l'équation suivante dans Geogebra :
y = (2x^2-4x-6)/(x^2+x-20)
Remarque : il se peut qu'une partie intéressante du graphe sorte de la feuille, vérifier sur Geogebra en cas de doute !