Utiliser la dérivée d'un produit, d'un quotient ou d'une composistion de deux fonctions pour calculer une dérivée : $$\begin{align} \left(u(x)\cdot v(x)\right)' &= u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' &= \frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}\\ \left(u(v(x))\right)' &= u'(v(x))\cdot v'(x) \end{align}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables. Calculer la dérivée de la fonction suivante : $$ f(x) = \frac{5}{\left(\sin(x)\right)^{8}}$$
Nous constatons que nous avons une composition de fonction, en l'occurrence la fonction \(v(x)=\sin(x)\) qui est imbriquée dans la fonction \(u(x)=\frac{5}{x^{8}}\). Pour y voir plus clair, on peut poser \(z = v(x)\) et ainsi on a : $$ u(z) = \frac{5}{z^{8}} \quad ; \quad z = v(x) = \sin(x) \quad ; \quad f(x) = u(v(x))$$ La dérivée de \(f(x)\) est donnée par : $$ f'(x) = u'(z)\cdot v'(x)$$ On a ainsi : $$ u'(z) = \frac{-40}{z^{9}}$$ et $$ v'(x) = \cos(x)$$ Ainsi : $$ f'(x) = \frac{-40}{z^{9}}\cdot \left(\cos(x)\right)$$ En substituant \(z=\sin(x)\), on obtient donc : $$ f'(x) = \frac{-40}{\left(\sin(x)\right)^{9}}\cdot\left(\cos(x)\right) $$ Nous pouvons encore simplifier cette expression :$$ f'(x) = \dfrac{-40\cos(x)}{\left(\sin(x)\right)^{9}} $$
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