Dérivées

Objectif 4

Utiliser la dérivée d'un produit, d'un quotient ou d'une composistion de deux fonctions pour calculer une dérivée : $$\begin{align} \left(u(x)\cdot v(x)\right)' &= u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' &= \frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}\\ \left(u(v(x))\right)' &= u'(v(x))\cdot v'(x) \end{align}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables. Calculer la dérivée de la fonction suivante : $$ f(x) = \dfrac{e^{x}}{\sqrt{x}}$$

Nouvel exemple

Nous constatons que nous avons un quotient de deux fonctions, en l'occurrence le quotient de la fonction \(u(x)=e^{x}\) par la fonction \(v(x)=\sqrt{x}\). La dérivée de \(f(x)\) est donnée par : $$ f'(x) = \dfrac{u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$$ Avec : $$ u'(x) = e^{x}$$ et $$ v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ Ainsi : $$ f'(x) = \dfrac{\left(e^{x}\right)\cdot \left(\sqrt{x}\right) - \left(e^{x}\right)\cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{\left(\sqrt{x}\right)^2} $$Il est possible que le résultat puisse encore se simplifier. Nous laissons le soin à l'étudiant-e de faire le nécessaire et cette option sera ajoutée ces prochains jours.

Nouvel exemple

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