Calculer des logarithmes dont la réponse est un nombre rationnel (positif ou négatif), sans la calculatrice.$$\log_{2}\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}\right)$$
Ce calcul revient à se poser la question \(2\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}\). En effet : $$ x=\log_{2}\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}\right) \Leftrightarrow 2^x = \sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}$$Par ailleurs : $$ \sqrt[3]{\dfrac{1}{64}} = \left(\dfrac{1}{64}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{1}{2^{6}}\right)^{1/3} = \left(2^{-6}\right)^{1/3} = 2^{-2}$$ Ainsi : $$2^x = 2^{-2}$$ On en déduit donc que \(x = -2\). Autrement dit : $$\log_{2}(\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}) = -2$$
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