Calculer des logarithmes dont la réponse est un nombre rationnel (positif ou négatif), sans la calculatrice.$$\log_{9}\left(\sqrt[3]{9}\right)$$
Ce calcul revient à se poser la question \(9\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{9}\). En effet : $$ x=\log_{9}\left(\sqrt[3]{9}\right) \Leftrightarrow 9^x = \sqrt[3]{9}$$Par ailleurs : $$ \sqrt[3]{9} = \left(9\right)^{1/3} = \left(9^{1}\right)^{1/3} = 9^{1/3}$$ Ainsi : $$9^x = 9^{1/3}$$ On en déduit donc que \(x = \dfrac{1}{3}\). Autrement dit : $$\log_{9}(\sqrt[3]{9}) = \dfrac{1}{3}$$
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