Exponentielles et logarithmes

Objectif 2

Calculer des logarithmes dont la réponse est un nombre rationnel (positif ou négatif), sans la calculatrice.$$\log_{12}\left(\sqrt[3]{144}\right)$$

Nouvel exemple

Ce calcul revient à se poser la question \(12\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{144}\). En effet : $$ x=\log_{12}\left(\sqrt[3]{144}\right) \Leftrightarrow 12^x = \sqrt[3]{144}$$Par ailleurs : $$ \sqrt[3]{144} = \left(144\right)^{1/3} = \left(12^{2}\right)^{1/3} = 12^{2/3}$$ Ainsi : $$12^x = 12^{2/3}$$ On en déduit donc que \(x = \dfrac{2}{3}\). Autrement dit : $$\log_{12}(\sqrt[3]{144}) = \dfrac{2}{3}$$

Nouvel exemple

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