Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-2\log\left(x^{5}y^{-1}z^{-5}\right)+3\log\left(x^{-5}yz^{3}\right)-3\log\left(x^{6}z^{-5}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{5}y^{-1}z^{-5}\right)^{-2}\right)+\log\left(\left(x^{-5}yz^{3}\right)^{3}\right)-\log\left(\left(x^{6}z^{-5}\right)^{3}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-10}y^{2}z^{10}\right)+\log\left(x^{-15}y^{3}z^{9}\right)-\log\left(x^{18}z^{-15}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-10}y^{2}z^{10}x^{-15}y^{3}z^{9}\right)-\log\left(x^{18}z^{-15}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-25}y^{5}z^{19}\right)-\log\left(x^{18}z^{-15}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-25}y^{5}z^{19}}{x^{18}z^{-15}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-43}y^{5}z^{34}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{5}z^{34}}{x^{43}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{y^{5}z^{34}}{x^{43}}\right)$$

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