Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-\log\left(x^{-3}y^{-4}\right)-5\log\left(x^{-1}y^{-1}\right)-\log\left(xy^{-1}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{-3}y^{-4}\right)^{-\frac{1}{1}}\right)-\log\left(\left(x^{-1}y^{-1}\right)^{5}\right)-\log\left(xy^{-1}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{3}y^{4}\right)-\log\left(x^{-5}y^{-5}\right)-\log\left(xy^{-1}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{3}y^{4}}{x^{-5}y^{-5}}\right)-\log\left(xy^{-1}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{8}y^{9}\right)-\log\left(xy^{-1}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{8}y^{9}}{xy^{-1}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{7}y^{10}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(x^{7}y^{10}\right)$$

Nouvel exemple