Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-4\log\left(x^{6}y^{-2}\right)-4\log\left(x^{3}y^{-3}\right)-3\log\left(xy^{6}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{6}y^{-2}\right)^{-4}\right)-\log\left(\left(x^{3}y^{-3}\right)^{4}\right)-\log\left(\left(xy^{6}\right)^{3}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-24}y^{8}\right)-\log\left(x^{12}y^{-12}\right)-\log\left(x^{3}y^{18}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-24}y^{8}}{x^{12}y^{-12}}\right)-\log\left(x^{3}y^{18}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-36}y^{20}\right)-\log\left(x^{3}y^{18}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-36}y^{20}}{x^{3}y^{18}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-39}y^{2}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{2}}{x^{39}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{y^{2}}{x^{39}}\right)$$

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