Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$-5\log\left(\dfrac{1}{y^{\frac{4}{5}}}\right)+5\log\left(\dfrac{y^{5}}{x}\right)+5\log\left(\dfrac{1}{xy^{2}}\right)$$Ensuite, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-5\log\left(y^{-\frac{4}{5}}\right)+5\log\left(x^{-1}y^{5}\right)+5\log\left(x^{-1}y^{-2}\right)$$Dès lors, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(y^{-\frac{4}{5}}\right)^{-5}\right)+\log\left(\left(x^{-1}y^{5}\right)^{5}\right)+\log\left(\left(x^{-1}y^{-2}\right)^{5}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(y^{4}\right)+\log\left(x^{-5}y^{25}\right)+\log\left(x^{-5}y^{-10}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(y^{4}x^{-5}y^{25}\right)+\log\left(x^{-5}y^{-10}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-5}y^{29}\right)+\log\left(x^{-5}y^{-10}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-5}y^{29}x^{-5}y^{-10}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-10}y^{19}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{19}}{x^{10}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{y^{19}}{x^{10}}\right)$$

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