Exponentielles et logarithmes

Objectif 4

Utiliser les propriétés des logarithmes et des puissances pour simplifier une expression.$$-\dfrac{1}{6}\log\left(x^{6}\right)-6\log\left(\dfrac{x^{6}}{y^{4}}\right)+\dfrac{1}{4}\log\left(y^{6}\right)= \log(?)$$

Nouvel exemple

Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-\dfrac{1}{6}\log\left(x^{6}\right)-6\log\left(x^{6}y^{-4}\right)+\dfrac{1}{4}\log\left(y^{6}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{6}\right)^{-\frac{1}{6}}\right)-\log\left(\left(x^{6}y^{-4}\right)^{6}\right)+\log\left(\left(y^{6}\right)^{\frac{1}{4}}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-1}\right)-\log\left(x^{36}y^{-24}\right)+\log\left(y^{\frac{3}{2}}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-1}}{x^{36}y^{-24}}\right)+\log\left(y^{\frac{3}{2}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-37}y^{24}\right)+\log\left(y^{\frac{3}{2}}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-37}y^{24}y^{\frac{3}{2}}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-37}y^{\frac{51}{2}}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{\frac{51}{2}}}{x^{37}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{\sqrt{y^{51}}}{x^{37}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{\sqrt{y^{51}}}{x^{37}}\right)$$

Nouvel exemple

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