Exponentielles et logarithmes

Objectif 4

Utiliser les propriétés des logarithmes et des puissances pour simplifier une expression.$$-3\log\left(\dfrac{\sqrt[4]{x^{5}}}{\sqrt{y}}\right)-\dfrac{1}{5}\log\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^{5}}\sqrt{y^{5}}}\right)= \log(?)$$

Nouvel exemple

Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$-3\log\left(\dfrac{x^{\frac{5}{4}}}{y^{\frac{1}{2}}}\right)-\dfrac{1}{5}\log\left(\dfrac{1}{x^{\frac{5}{2}}y^{\frac{5}{2}}}\right)$$Ensuite, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-3\log\left(x^{\frac{5}{4}}y^{-\frac{1}{2}}\right)-\dfrac{1}{5}\log\left(x^{-\frac{5}{2}}y^{-\frac{5}{2}}\right)$$Dès lors, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{\frac{5}{4}}y^{-\frac{1}{2}}\right)^{-3}\right)-\log\left(\left(x^{-\frac{5}{2}}y^{-\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{5}}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{15}{4}}y^{\frac{3}{2}}\right)-\log\left(x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-\frac{15}{4}}y^{\frac{3}{2}}}{x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{13}{4}}y^{2}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{2}}{x^{\frac{13}{4}}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{2}}{\sqrt[4]{x^{13}}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{y^{2}}{\sqrt[4]{x^{13}}}\right)$$

Nouvel exemple

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