Utiliser les propriétés des logarithmes et des puissances pour simplifier une expression.$$-3\log\left(\dfrac{z}{\sqrt[3]{x}y^{4}}\right)+4\log\left(\dfrac{y^{6}}{x^{4}z^{6}}\right)= \log(?)$$
Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$-3\log\left(\dfrac{z}{x^{\frac{1}{3}}y^{4}}\right)+4\log\left(\dfrac{y^{6}}{x^{4}z^{6}}\right)$$Ensuite, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-3\log\left(x^{-\frac{1}{3}}y^{-4}z\right)+4\log\left(x^{-4}y^{6}z^{-6}\right)$$Dès lors, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{-\frac{1}{3}}y^{-4}z\right)^{-3}\right)+\log\left(\left(x^{-4}y^{6}z^{-6}\right)^{4}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(xy^{12}z^{-3}\right)+\log\left(x^{-16}y^{24}z^{-24}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(xy^{12}z^{-3}x^{-16}y^{24}z^{-24}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-15}y^{36}z^{-27}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{36}}{x^{15}z^{27}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{y^{36}}{x^{15}z^{27}}\right)$$
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