Exponentielles et logarithmes

Objectif 4

Utiliser les propriétés des logarithmes et des puissances pour simplifier une expression.$$-4\log\left(y^{6}z^{5}\right)-\dfrac{1}{5}\log\left(x^{3}y^{2}\right)= \log(?)$$

Nouvel exemple

Tout d'abord, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(y^{6}z^{5}\right)^{-4}\right)-\log\left(\left(x^{3}y^{2}\right)^{\frac{1}{5}}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(y^{-24}z^{-20}\right)-\log\left(x^{\frac{3}{5}}y^{\frac{2}{5}}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{y^{-24}z^{-20}}{x^{\frac{3}{5}}y^{\frac{2}{5}}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{3}{5}}y^{-\frac{122}{5}}z^{-20}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{1}{x^{\frac{3}{5}}y^{\frac{122}{5}}z^{20}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}\sqrt[5]{y^{122}}z^{20}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}\sqrt[5]{y^{122}}z^{20}}\right)$$

Nouvel exemple

Copyright © Olivier Simon 2011-2024