Exponentielles et logarithmes

Objectif 4

Utiliser les propriétés des logarithmes et des puissances pour simplifier une expression.$$-\log\left(\dfrac{1}{x^{3}y^{2}z^{5}}\right)+\log\left(\dfrac{y^{3}}{x^{2}z^{4}}\right)+2\log\left(\dfrac{y^{6}z^{4}}{x^{2}}\right)= \log(?)$$

Nouvel exemple

Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-\log\left(x^{-3}y^{-2}z^{-5}\right)+\log\left(x^{-2}y^{3}z^{-4}\right)+2\log\left(x^{-2}y^{6}z^{4}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{-3}y^{-2}z^{-5}\right)^{-1}\right)+\log\left(x^{-2}y^{3}z^{-4}\right)+\log\left(\left(x^{-2}y^{6}z^{4}\right)^{2}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{3}y^{2}z^{5}\right)+\log\left(x^{-2}y^{3}z^{-4}\right)+\log\left(x^{-4}y^{12}z^{8}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{3}y^{2}z^{5}x^{-2}y^{3}z^{-4}\right)+\log\left(x^{-4}y^{12}z^{8}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(xy^{5}z\right)+\log\left(x^{-4}y^{12}z^{8}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(xy^{5}zx^{-4}y^{12}z^{8}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-3}y^{17}z^{9}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{17}z^{9}}{x^{3}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{y^{17}z^{9}}{x^{3}}\right)$$

Nouvel exemple

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