Résoudre des équations plus complexes faisant intervenir des fonctions exponentielles ou logarithmiques, nécessitant d'utiliser les propriétés des logarithmes, d'effectuer une substitution, de résoudre des équations du deuxième degré, de vérifier l'existence des solutions, etc. La calculatrice est autorisée, en revanche seule la touche \(\log\) (en base 10 donc) peut être utilisée pour calculer des logarithmes.$$ 5^{x}-8-20\cdot 5^{-x} = 0 $$
Tout d'abord, constatons que \(5^{-x} = \left(5^{x}\right)^{-1} = \frac{1}{5^{x}}\) : $$ 5^{x}-8-\dfrac{20}{5^{x}} = 0 $$On remarque que la variable \(x\) apparaît toujours dans la puissance de 5 dans notre équation, ce qui nous permet de poser \(y = 5^{x}\). L'équation se réécrit alors :$$\begin{array}{rcl|l} y-8-\dfrac{20}{y} & = & 0 & \cdot y\\ y^{2}-8 y-20 & = & 0 & \end{array}$$Remarque : il a été possible de multiplier par \(y\) sans risque, car \(y = 5^{x}>0\), donc en particulier \(y\neq 0\). Il s'agit d'une équation du deuxième degré que l'on peut résoudre par sa méthode préférée. Résolvons ici l'équation par factorisation : $$ (y-10)(y+2)=0 $$Les solutions sont donc : $$ y = 10 \quad ; \quad y = -2 $$Comme \(y = 5^{x}\), on en déduit : $$ 5^{x} = 10 \quad ; \quad 5^{x} = -2 $$La première équation obtenue peut être résolue ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 5^{x} & = & 10 & \log(...)\\ \log\left(5^{x}\right) & = & \log\left(10\right) & \log(b^a) = a \log(b)\\x \log\left(5\right) & = & \log\left(10\right) & :\left(\log\left(5\right)\right)\\ x & = & \dfrac{\log\left(10\right)}{\log\left(5\right)} & \text{Calculatrice}\\ x & \cong & 1.43 & \end{array}$$Comme un nombre strictement positif élevé à n'importe quelle puissance ne peut pas donner un résultat négatif ou nul, la seconde équation n'a pas de solution. La seule solution de l'équation initiale est donc : $$ x \cong 1.43$$
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