Exponentielles et logarithmes

Objectif 6

Résoudre des équations plus complexes faisant intervenir des fonctions exponentielles ou logarithmiques, nécessitant d'utiliser les propriétés des logarithmes, d'effectuer une substitution, de résoudre des équations du deuxième degré, de vérifier l'existence des solutions, etc. La calculatrice est autorisée, en revanche seule la touche \(\log\) (en base 10 donc) peut être utilisée pour calculer des logarithmes.$$ 3\cdot 3^{2x}-17\cdot 3^{x} = -10 $$

Nouvel exemple

On remarque tout d'abord que \(3^{2x} = \left(3^{x}\right)^2\). Ainsi, la variable \(x\) apparaît toujours dans la puissance de 3 dans notre équation, ce qui nous permet de poser \(y = 3^{x}\). L'équation se réécrit alors :$$ 3 y^{2}-17 y = -10 $$On peut ensuite regrouper tous les termes du même côté : $$\begin{array}{rcl|l} 3 y^{2}-17 y & = & -10 & +10\\ 3y^{2}-17y+10 & = & 0 & \end{array}$$Il s'agit d'une équation du deuxième degré que l'on peut résoudre par sa méthode préférée. Résolvons ici l'équation par factorisation : $$ (y-5)(3y-2)=0 $$Les solutions sont donc : $$ y = 5 \quad ; \quad y = \dfrac{2}{3} $$Comme \(y = 3^{x}\), on en déduit : $$ 3^{x} = 5 \quad ; \quad 3^{x} = \dfrac{2}{3} $$La première équation obtenue peut être résolue ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 3^{x} & = & 5 & \log(...)\\ \log\left(3^{x}\right) & = & \log\left(5\right) & \log(b^a) = a \log(b)\\x \log\left(3\right) & = & \log\left(5\right) & :\left(\log\left(3\right)\right)\\ x & = & \dfrac{\log\left(5\right)}{\log\left(3\right)} & \text{Calculatrice}\\ x & \cong & 1.46 & \end{array}$$La seconde équation obtenue peut être résolue ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 3^{x} & = & \dfrac{2}{3} & \log(...)\\ \log\left(3^{x}\right) & = & \log\left(\dfrac{2}{3}\right) & \log(b^a) = a \log(b)\\x \log\left(3\right) & = & \log\left(\dfrac{2}{3}\right) & :\left(\log\left(3\right)\right)\\ x & = & \dfrac{\log\left(2/3\right)}{\log\left(3\right)} & \text{Calculatrice}\\ x & \cong & -0.369 & \end{array}$$Les deux solutions de l'équation initiale sont donc : $$ x_1 \cong 1.46\quad ; \quad x_2 \cong -0.369$$

Nouvel exemple

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