Exponentielles et logarithmes

Objectif 6

Résoudre des équations plus complexes faisant intervenir des fonctions exponentielles ou logarithmiques, nécessitant d'utiliser les propriétés des logarithmes, d'effectuer une substitution, de résoudre des équations du deuxième degré, de vérifier l'existence des solutions, etc. La calculatrice est autorisée, en revanche seule la touche \(\log\) (en base 10 donc) peut être utilisée pour calculer des logarithmes.$$ \log_{8}\left(3x-1\right) + \log_{8}(10) = \log_{8}\left(-6x-2\right) + \log_{8}(7)$$

Nouvel exemple

Comme le logarithme est défini que pour un argument positif, on en déduit tout d'abord que si une solution \(x\) existe, elle doit satisfaire : $$ 3x-1>0 \quad \text{et} \quad -6x-2>0 $$Pour enlever les logarithmes en base 8, il faudra appliquer l'oppération inverse qui est \(8^{(...)}\). Cependant, il faut déjà qu'il n'y ait qu'un seul logarithme de chaque côté. On peut utiliser les propriétés des logarithmes à cet effet$$\begin{array}{rcl|l} \log_{8}\left(3x-1\right) + \log_{8}(10) & = & \log_{8}\left(-6x-2\right) + \log_{8}(7) & \text{Propriétés log}\\\log_{8}\left(10\left(3x-1\right)\right) & = & \log_{8}\left(7\left(-6x-2\right)\right) & 8^{(...)}\\10\left(3x-1\right) & = & 7\left(-6x-2\right) & \text{Distributivité}\\ 30x-10 & = & -42x-14 & +10+42x\\72x & = & -4 & :(72)\\ x & = & -\dfrac{1}{18} & \end{array} $$On obtient ainsi une solution : $$ x = -\dfrac{1}{18} $$ Rappelons comme constaté tout au début que la valeur de \(x\) doit satisfaire les expressions suivantes pour que les valeurs des logarithmes existent :$$ 3x-1>0 \quad \text{et} \quad -6x-2 >0 $$ On constate que :$$ 3\left(-\dfrac{1}{18}\right)-1<0 $$ Ainsi la solution trouvée n'est pas compatible avec l'équation de départ. L'équation initiale n'a donc aucune solution : $$ x \in\emptyset $$

Nouvel exemple

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