Exponentielles et logarithmes

On remarque que la variable \(x\) apparaît toujours dans la puissance de 2 dans notre équation, ce qui nous permet de poser \(y = 2^{3x}\). L'équation se réécrit alors :$$\begin{array}{rcl|l} 3 y-28 & = & -\dfrac{60}{y} & \cdot y\\ 3 y^{2}-28 y & = & -60 & \end{array}$$Remarque : il a été possible de multiplier par \(y\) sans risque, car \(y = 2^{3x}>0\), donc en particulier \(y\neq 0\). On peut ensuite regrouper tous les termes du même côté : $$\begin{array}{rcl|l} 3 y^{2}-28 y & = & -60 & +60\\ 3y^{2}-28y+60 & = & 0 & \end{array}$$Il s'agit d'une équation du deuxième degré que l'on peut résoudre par sa méthode préférée. Résolvons ici l'équation par factorisation : $$ (y-6)(3y-10)=0 $$Les solutions sont donc : $$ y = 6 \quad ; \quad y = \dfrac{10}{3} $$Comme \(y = 2^{3x}\), on en déduit : $$ 2^{3x} = 6 \quad ; \quad 2^{3x} = \dfrac{10}{3} $$La première équation obtenue peut être résolue ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 2^{3x} & = & 6 & \log(...)\\ \log\left(2^{3x}\right) & = & \log\left(6\right) & \log(b^a) = a \log(b)\\3x \log\left(2\right) & = & \log\left(6\right) & :\left(3\log\left(2\right)\right)\\ x & = & \dfrac{\log\left(6\right)}{3\log\left(2\right)} & \text{Calculatrice}\\ x & \cong & 0.862 & \end{array}$$La seconde équation obtenue peut être résolue ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 2^{3x} & = & \dfrac{10}{3} & \log(...)\\ \log\left(2^{3x}\right) & = & \log\left(\dfrac{10}{3}\right) & \log(b^a) = a \log(b)\\3x \log\left(2\right) & = & \log\left(\dfrac{10}{3}\right) & :\left(3\log\left(2\right)\right)\\ x & = & \dfrac{\log\left(10/3\right)}{3\log\left(2\right)} & \text{Calculatrice}\\ x & \cong & 0.579 & \end{array}$$Les deux solutions de l'équation initiale sont donc : $$ x_1 \cong 0.862\quad ; \quad x_2 \cong 0.579$$

Nouvel exemple