Résoudre des équations plus complexes faisant intervenir des fonctions exponentielles ou logarithmiques, nécessitant d'utiliser les propriétés des logarithmes, d'effectuer une substitution, de résoudre des équations du deuxième degré, de vérifier l'existence des solutions, etc. La calculatrice est autorisée, en revanche seule la touche \(\log\) (en base 10 donc) peut être utilisée pour calculer des logarithmes.$$ 0 = -2\cdot 10^{6x}+21\cdot 10^{3x}-27 $$
On remarque tout d'abord que \(10^{6x} = \left(10^{3x}\right)^2\). Ainsi, la variable \(x\) apparaît toujours dans la puissance de 10 dans notre équation, ce qui nous permet de poser \(y = 10^{3x}\). L'équation se réécrit alors :$$ 0 = -2 y^{2}+21 y-27 $$Il s'agit d'une équation du deuxième degré que l'on peut résoudre par sa méthode préférée. Résolvons ici l'équation par factorisation : $$ (y-9)(2y-3)=0 $$Les solutions sont donc : $$ y = 9 \quad ; \quad y = \dfrac{3}{2} $$Comme \(y = 10^{3x}\), on en déduit : $$ 10^{3x} = 9 \quad ; \quad 10^{3x} = \dfrac{3}{2} $$La première équation obtenue peut être résolue ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 10^{3x} & = & 9 & \log(...)\\ \log\left(10^{3x}\right) & = & \log\left(9\right) & \log(b^a) = a \log(b)\\3x & = & \log\left(9\right) & :\left(3\right)\\ x & = & \dfrac{\log\left(9\right)}{3} & \text{Calculatrice}\\ x & \cong & 0.318 & \end{array}$$La seconde équation obtenue peut être résolue ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 10^{3x} & = & \dfrac{3}{2} & \log(...)\\ \log\left(10^{3x}\right) & = & \log\left(\dfrac{3}{2}\right) & \log(b^a) = a \log(b)\\3x & = & \log\left(\dfrac{3}{2}\right) & :\left(3\right)\\ x & = & \dfrac{\log\left(3/2\right)}{3} & \text{Calculatrice}\\ x & \cong & 0.0587 & \end{array}$$Les deux solutions de l'équation initiale sont donc : $$ x_1 \cong 0.318\quad ; \quad x_2 \cong 0.0587$$
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