Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[4]{2}\) puissance combien fait \(\sqrt[4]{\dfrac{1}{64}}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[4]{2}}\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{64}}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[4]{2}\right)^x = \sqrt[4]{\dfrac{1}{64}}$$D'une part : $$ \sqrt[4]{\dfrac{1}{64}} = \left(\dfrac{1}{64}\right)^{1/4} = \left(\dfrac{1}{2^{6}}\right)^{1/4} = \left(2^{-6}\right)^{1/4} = 2^{-3/2}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[4]{2}\right)^x = \left(2^{1 / 4}\right)^x = 2^{x / 4}$$Ainsi : $$2^{x / 4} = 2^{-3/2}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{4} & = & -\dfrac{3}{2}& \cdot 4\\ x & = & -6& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[4]{2}}(\sqrt[4]{\dfrac{1}{64}}) = -6$$

Nouvel exemple