Exponentielles et logarithmes

Objectif 3

Calculer des logarithmes dont la réponse est un nombre rationnel (positif ou négatif) et la base une racine ou un nombre rationnel, sans la calculatrice.$$\log_{1/7}\left(\sqrt[3]{7}\right)$$

Nouvel exemple

Ce calcul revient à se poser la question \(1/7\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{7}\). En effet : $$ x=\log_{1/7}\left(\sqrt[3]{7}\right) \Leftrightarrow \left(1/7\right)^x = \sqrt[3]{7}$$D'une part : $$ \sqrt[3]{7} = \left(7\right)^{1/3} = \left(7^{1}\right)^{1/3} = 7^{1/3}$$D'autre part : $$ \left(\dfrac{1}{7}\right)^x = \left(7^{-1}\right)^x = 7^{-x}$$Ainsi : $$7^{-x} = 7^{1/3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} - x & = & \dfrac{1}{3}& \cdot (-1)\\ x & = & -\dfrac{1}{3}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{1/7}(\sqrt[3]{7}) = -\dfrac{1}{3}$$

Nouvel exemple

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