Exponentielles et logarithmes

Objectif 3

Calculer des logarithmes dont la réponse est un nombre rationnel (positif ou négatif) et la base une racine ou un nombre rationnel, sans la calculatrice.$$\log_{\sqrt[5]{10}}\left(\sqrt[5]{0.000001}\right)$$

Nouvel exemple

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[5]{10}\) puissance combien fait \(\sqrt[5]{0.000001}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[5]{10}}\left(\sqrt[5]{0.000001}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[5]{10}\right)^x = \sqrt[5]{0.000001}$$D'une part : $$ \sqrt[5]{0.000001} = \left(0.000001\right)^{1/5} = \left(\dfrac{1}{1000000}\right)^{1/5} = \left(\dfrac{1}{10^{6}}\right)^{1/5} = \left(10^{-6}\right)^{1/5} = 10^{-6/5}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[5]{10}\right)^x = \left(10^{1 / 5}\right)^x = 10^{x / 5}$$Ainsi : $$10^{x / 5} = 10^{-6/5}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{5} & = & -\dfrac{6}{5}& \cdot 5\\ x & = & -6& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[5]{10}}(\sqrt[5]{0.000001}) = -6$$

Nouvel exemple

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