Exponentielles et logarithmes

Objectif 3

Calculer des logarithmes dont la réponse est un nombre rationnel (positif ou négatif) et la base une racine ou un nombre rationnel, sans la calculatrice.$$\log_{\sqrt[5]{10}}\left(0.001\right)$$

Nouvel exemple

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[5]{10}\) puissance combien fait \(0.001\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[5]{10}}\left(0.001\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[5]{10}\right)^x = 0.001$$D'une part : $$ 0.001 = \dfrac{1}{1000} = \dfrac{1}{10^{3}} = 10^{-3}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[5]{10}\right)^x = \left(10^{1 / 5}\right)^x = 10^{x / 5}$$Ainsi : $$10^{x / 5} = 10^{-3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{5} & = & -3& \cdot 5\\ x & = & -15& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[5]{10}}(0.001) = -15$$

Nouvel exemple

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