Exponentielles et logarithmes

Objectif 3

Calculer des logarithmes dont la réponse est un nombre rationnel (positif ou négatif) et la base une racine ou un nombre rationnel, sans la calculatrice.$$\log_{1/2}\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{32}}\right)$$

Nouvel exemple

Ce calcul revient à se poser la question \(1/2\) puissance combien fait \(\sqrt[4]{\dfrac{1}{32}}\). En effet : $$ x=\log_{1/2}\left(\sqrt[4]{\dfrac{1}{32}}\right) \Leftrightarrow \left(1/2\right)^x = \sqrt[4]{\dfrac{1}{32}}$$D'une part : $$ \sqrt[4]{\dfrac{1}{32}} = \left(\dfrac{1}{32}\right)^{1/4} = \left(\dfrac{1}{2^{5}}\right)^{1/4} = \left(2^{-5}\right)^{1/4} = 2^{-5/4}$$D'autre part : $$ \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = \left(2^{-1}\right)^x = 2^{-x}$$Ainsi : $$2^{-x} = 2^{-5/4}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} - x & = & -\dfrac{5}{4}& \cdot (-1)\\ x & = & \dfrac{5}{4}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{1/2}(\sqrt[4]{\dfrac{1}{32}}) = \dfrac{5}{4}$$

Nouvel exemple

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