Exponentielles et logarithmes

Objectif 2

Calculer des logarithmes dont la réponse est un nombre rationnel (positif ou négatif), sans la calculatrice.$$\log_{5}\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{125}}\right)$$

Nouvel exemple

Ce calcul revient à se poser la question \(5\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{125}}\). En effet : $$ x=\log_{5}\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{125}}\right) \Leftrightarrow 5^x = \sqrt[3]{\dfrac{1}{125}}$$Par ailleurs : $$ \sqrt[3]{\dfrac{1}{125}} = \left(\dfrac{1}{125}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{1}{5^{3}}\right)^{1/3} = \left(5^{-3}\right)^{1/3} = 5^{-1}$$ Ainsi : $$5^x = 5^{-1}$$ On en déduit donc que \(x = -1\). Autrement dit : $$\log_{5}(\sqrt[3]{\dfrac{1}{125}}) = -1$$

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