Calculer des logarithmes dont la réponse est un nombre rationnel (positif ou négatif), sans la calculatrice.$$\log_{4}\left(\sqrt[5]{64}\right)$$
Ce calcul revient à se poser la question \(4\) puissance combien fait \(\sqrt[5]{64}\). En effet : $$ x=\log_{4}\left(\sqrt[5]{64}\right) \Leftrightarrow 4^x = \sqrt[5]{64}$$Par ailleurs : $$ \sqrt[5]{64} = \left(64\right)^{1/5} = \left(4^{3}\right)^{1/5} = 4^{3/5}$$ Ainsi : $$4^x = 4^{3/5}$$ On en déduit donc que \(x = \dfrac{3}{5}\). Autrement dit : $$\log_{4}(\sqrt[5]{64}) = \dfrac{3}{5}$$
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