Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[3]{2}\) puissance combien fait \(\dfrac{1}{64}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[3]{2}}\left(\dfrac{1}{64}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{2}\right)^x = \dfrac{1}{64}$$D'une part : $$ \dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{2^{6}} = 2^{-6}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[3]{2}\right)^x = \left(2^{1 / 3}\right)^x = 2^{x / 3}$$Ainsi : $$2^{x / 3} = 2^{-6}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{3} & = & -6& \cdot 3\\ x & = & -18& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[3]{2}}(\dfrac{1}{64}) = -18$$

Nouvel exemple