Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[3]{10}\) puissance combien fait \(\sqrt[5]{1000}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[3]{10}}\left(\sqrt[5]{1000}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{10}\right)^x = \sqrt[5]{1000}$$D'une part : $$ \sqrt[5]{1000} = \left(1000\right)^{1/5} = \left(10^{3}\right)^{1/5} = 10^{3/5}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[3]{10}\right)^x = \left(10^{1 / 3}\right)^x = 10^{x / 3}$$Ainsi : $$10^{x / 3} = 10^{3/5}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{3} & = & \dfrac{3}{5}& \cdot 3\\ x & = & \dfrac{9}{5}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[3]{10}}(\sqrt[5]{1000}) = \dfrac{9}{5}$$

Nouvel exemple