Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[5]{4}\) puissance combien fait \(\sqrt[2]{\dfrac{1}{64}}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[5]{4}}\left(\sqrt[2]{\dfrac{1}{64}}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[5]{4}\right)^x = \sqrt[2]{\dfrac{1}{64}}$$D'une part : $$ \sqrt[2]{\dfrac{1}{64}} = \left(\dfrac{1}{64}\right)^{1/2} = \left(\dfrac{1}{4^{3}}\right)^{1/2} = \left(4^{-3}\right)^{1/2} = 4^{-3/2}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[5]{4}\right)^x = \left(4^{1 / 5}\right)^x = 4^{x / 5}$$Ainsi : $$4^{x / 5} = 4^{-3/2}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{5} & = & -\dfrac{3}{2}& \cdot 5\\ x & = & -\dfrac{15}{2}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[5]{4}}(\sqrt[2]{\dfrac{1}{64}}) = -\dfrac{15}{2}$$

Nouvel exemple