Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[3]{9}\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{81}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[3]{9}}\left(\sqrt[3]{81}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{9}\right)^x = \sqrt[3]{81}$$D'une part : $$ \sqrt[3]{81} = \left(81\right)^{1/3} = \left(9^{2}\right)^{1/3} = 9^{2/3}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[3]{9}\right)^x = \left(9^{1 / 3}\right)^x = 9^{x / 3}$$Ainsi : $$9^{x / 3} = 9^{2/3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{3} & = & \dfrac{2}{3}& \cdot 3\\ x & = & 2& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[3]{9}}(\sqrt[3]{81}) = 2$$

Nouvel exemple