Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[5]{5}\) puissance combien fait \(\sqrt[2]{625}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[5]{5}}\left(\sqrt[2]{625}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[5]{5}\right)^x = \sqrt[2]{625}$$D'une part : $$ \sqrt[2]{625} = \left(625\right)^{1/2} = \left(5^{4}\right)^{1/2} = 5^{2}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[5]{5}\right)^x = \left(5^{1 / 5}\right)^x = 5^{x / 5}$$Ainsi : $$5^{x / 5} = 5^{2}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{5} & = & 2& \cdot 5\\ x & = & 10& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[5]{5}}(\sqrt[2]{625}) = 10$$

Nouvel exemple