Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(1/2\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{16}\). En effet : $$ x=\log_{1/2}\left(\sqrt[3]{16}\right) \Leftrightarrow \left(1/2\right)^x = \sqrt[3]{16}$$D'une part : $$ \sqrt[3]{16} = \left(16\right)^{1/3} = \left(2^{4}\right)^{1/3} = 2^{4/3}$$D'autre part : $$ \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = \left(2^{-1}\right)^x = 2^{-x}$$Ainsi : $$2^{-x} = 2^{4/3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} - x & = & \dfrac{4}{3}& \cdot (-1)\\ x & = & -\dfrac{4}{3}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{1/2}(\sqrt[3]{16}) = -\dfrac{4}{3}$$

Nouvel exemple