Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[5]{5}\) puissance combien fait \(\sqrt[5]{\dfrac{1}{625}}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[5]{5}}\left(\sqrt[5]{\dfrac{1}{625}}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[5]{5}\right)^x = \sqrt[5]{\dfrac{1}{625}}$$D'une part : $$ \sqrt[5]{\dfrac{1}{625}} = \left(\dfrac{1}{625}\right)^{1/5} = \left(\dfrac{1}{5^{4}}\right)^{1/5} = \left(5^{-4}\right)^{1/5} = 5^{-4/5}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[5]{5}\right)^x = \left(5^{1 / 5}\right)^x = 5^{x / 5}$$Ainsi : $$5^{x / 5} = 5^{-4/5}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{5} & = & -\dfrac{4}{5}& \cdot 5\\ x & = & -4& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[5]{5}}(\sqrt[5]{\dfrac{1}{625}}) = -4$$

Nouvel exemple