Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[3]{2}\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[3]{2}}\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{2}\right)^x = \sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$$D'une part : $$ \sqrt[3]{\dfrac{1}{8}} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{1}{2^{3}}\right)^{1/3} = \left(2^{-3}\right)^{1/3} = 2^{-1}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[3]{2}\right)^x = \left(2^{1 / 3}\right)^x = 2^{x / 3}$$Ainsi : $$2^{x / 3} = 2^{-1}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{3} & = & -1& \cdot 3\\ x & = & -3& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[3]{2}}(\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}) = -3$$

Nouvel exemple