Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[5]{10}\) puissance combien fait \(\sqrt[2]{10000}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[5]{10}}\left(\sqrt[2]{10000}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[5]{10}\right)^x = \sqrt[2]{10000}$$D'une part : $$ \sqrt[2]{10000} = \left(10000\right)^{1/2} = \left(10^{4}\right)^{1/2} = 10^{2}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[5]{10}\right)^x = \left(10^{1 / 5}\right)^x = 10^{x / 5}$$Ainsi : $$10^{x / 5} = 10^{2}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{5} & = & 2& \cdot 5\\ x & = & 10& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[5]{10}}(\sqrt[2]{10000}) = 10$$

Nouvel exemple