Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(1/2\) puissance combien fait \(\sqrt[2]{\dfrac{1}{32}}\). En effet : $$ x=\log_{1/2}\left(\sqrt[2]{\dfrac{1}{32}}\right) \Leftrightarrow \left(1/2\right)^x = \sqrt[2]{\dfrac{1}{32}}$$D'une part : $$ \sqrt[2]{\dfrac{1}{32}} = \left(\dfrac{1}{32}\right)^{1/2} = \left(\dfrac{1}{2^{5}}\right)^{1/2} = \left(2^{-5}\right)^{1/2} = 2^{-5/2}$$D'autre part : $$ \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = \left(2^{-1}\right)^x = 2^{-x}$$Ainsi : $$2^{-x} = 2^{-5/2}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} - x & = & -\dfrac{5}{2}& \cdot (-1)\\ x & = & \dfrac{5}{2}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{1/2}(\sqrt[2]{\dfrac{1}{32}}) = \dfrac{5}{2}$$

Nouvel exemple