Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[2]{2}\) puissance combien fait \(\sqrt[5]{16}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[2]{2}}\left(\sqrt[5]{16}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[2]{2}\right)^x = \sqrt[5]{16}$$D'une part : $$ \sqrt[5]{16} = \left(16\right)^{1/5} = \left(2^{4}\right)^{1/5} = 2^{4/5}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[2]{2}\right)^x = \left(2^{1 / 2}\right)^x = 2^{x / 2}$$Ainsi : $$2^{x / 2} = 2^{4/5}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{2} & = & \dfrac{4}{5}& \cdot 2\\ x & = & \dfrac{8}{5}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[2]{2}}(\sqrt[5]{16}) = \dfrac{8}{5}$$

Nouvel exemple