Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[3]{2}\) puissance combien fait \(\sqrt[2]{64}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[3]{2}}\left(\sqrt[2]{64}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[3]{2}\right)^x = \sqrt[2]{64}$$D'une part : $$ \sqrt[2]{64} = \left(64\right)^{1/2} = \left(2^{6}\right)^{1/2} = 2^{3}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[3]{2}\right)^x = \left(2^{1 / 3}\right)^x = 2^{x / 3}$$Ainsi : $$2^{x / 3} = 2^{3}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{3} & = & 3& \cdot 3\\ x & = & 9& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[3]{2}}(\sqrt[2]{64}) = 9$$

Nouvel exemple