Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[5]{3}\) puissance combien fait \(\dfrac{1}{81}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[5]{3}}\left(\dfrac{1}{81}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[5]{3}\right)^x = \dfrac{1}{81}$$D'une part : $$ \dfrac{1}{81} = \dfrac{1}{3^{4}} = 3^{-4}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[5]{3}\right)^x = \left(3^{1 / 5}\right)^x = 3^{x / 5}$$Ainsi : $$3^{x / 5} = 3^{-4}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{5} & = & -4& \cdot 5\\ x & = & -20& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[5]{3}}(\dfrac{1}{81}) = -20$$

Nouvel exemple