Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[5]{2}\) puissance combien fait \(\sqrt[2]{8}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[5]{2}}\left(\sqrt[2]{8}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[5]{2}\right)^x = \sqrt[2]{8}$$D'une part : $$ \sqrt[2]{8} = \left(8\right)^{1/2} = \left(2^{3}\right)^{1/2} = 2^{3/2}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[5]{2}\right)^x = \left(2^{1 / 5}\right)^x = 2^{x / 5}$$Ainsi : $$2^{x / 5} = 2^{3/2}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{5} & = & \dfrac{3}{2}& \cdot 5\\ x & = & \dfrac{15}{2}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[5]{2}}(\sqrt[2]{8}) = \dfrac{15}{2}$$

Nouvel exemple