Exponentielles et logarithmes

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[4]{4}\) puissance combien fait \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[4]{4}}\left(\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[4]{4}\right)^x = \sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}$$D'une part : $$ \sqrt[3]{\dfrac{1}{64}} = \left(\dfrac{1}{64}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{1}{4^{3}}\right)^{1/3} = \left(4^{-3}\right)^{1/3} = 4^{-1}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[4]{4}\right)^x = \left(4^{1 / 4}\right)^x = 4^{x / 4}$$Ainsi : $$4^{x / 4} = 4^{-1}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{4} & = & -1& \cdot 4\\ x & = & -4& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[4]{4}}(\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}) = -4$$

Nouvel exemple