Exponentielles et logarithmes

Objectif 3

Calculer des logarithmes dont la réponse est un nombre rationnel (positif ou négatif) et la base une racine ou un nombre rationnel, sans la calculatrice.$$\log_{\sqrt[5]{10}}\left(\sqrt[4]{100}\right)$$

Nouvel exemple

Ce calcul revient à se poser la question \(\sqrt[5]{10}\) puissance combien fait \(\sqrt[4]{100}\). En effet : $$ x=\log_{\sqrt[5]{10}}\left(\sqrt[4]{100}\right) \Leftrightarrow \left(\sqrt[5]{10}\right)^x = \sqrt[4]{100}$$D'une part : $$ \sqrt[4]{100} = \left(100\right)^{1/4} = \left(10^{2}\right)^{1/4} = 10^{1/2}$$D'autre part : $$ \left(\sqrt[5]{10}\right)^x = \left(10^{1 / 5}\right)^x = 10^{x / 5}$$Ainsi : $$10^{x / 5} = 10^{1/2}$$ On en déduit donc que :$$\begin{array}{rcl|l} \dfrac{x}{5} & = & \dfrac{1}{2}& \cdot 5\\ x & = & \dfrac{5}{2}& \end{array}$$Autrement dit : $$\log_{\sqrt[5]{10}}(\sqrt[4]{100}) = \dfrac{5}{2}$$

Nouvel exemple

Copyright © Olivier Simon 2011-2022