Utiliser la dérivée d'un produit, d'un quotient ou d'une composistion de deux fonctions pour calculer une dérivée : $$\begin{align} \left(u(x)\cdot v(x)\right)' &= u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\\ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' &= \frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}\\ \left(u(v(x))\right)' &= u'(v(x))\cdot v'(x) \end{align}$$ avec \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables. Calculer la dérivée de la fonction suivante : $$ f(x) = \frac{5}{x^{9}}\cdot \sin(x)$$
Nous constatons que nous avons un produit de deux fonctions, en l'occurrence le produit entre la fonction \(u(x)=\frac{5}{x^{9}}\) et la fonction \(v(x)=\sin(x)\). La dérivée de \(f(x)\) est donnée par : $$ f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)$$ Avec : $$ u'(x) = \frac{-45}{x^{10}}$$ et $$ v'(x) = \cos(x)$$ Ainsi : $$ f'(x) = \left(\frac{-45}{x^{10}}\right)\cdot \sin(x) + \frac{5}{x^{9}}\cdot \left(\cos(x)\right) $$Il est possible que le résultat puisse encore se simplifier. Nous laissons le soin à l'étudiant-e de faire le nécessaire et cette option sera ajoutée ces prochains jours.
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