Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-6\log\left(x^{5}y^{2}\right)+4\log\left(x^{-5}y^{6}\right)+2\log\left(x^{5}y^{6}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{5}y^{2}\right)^{-6}\right)+\log\left(\left(x^{-5}y^{6}\right)^{4}\right)+\log\left(\left(x^{5}y^{6}\right)^{2}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-30}y^{-12}\right)+\log\left(x^{-20}y^{24}\right)+\log\left(x^{10}y^{12}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-30}y^{-12}x^{-20}y^{24}\right)+\log\left(x^{10}y^{12}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-50}y^{12}\right)+\log\left(x^{10}y^{12}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-50}y^{12}x^{10}y^{12}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-40}y^{24}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{24}}{x^{40}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{y^{24}}{x^{40}}\right)$$

Nouvel exemple