Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$-2\log\left(x^{3}y^{\frac{1}{6}}\right)+2\log\left(xy^{\frac{1}{2}}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{3}y^{\frac{1}{6}}\right)^{-2}\right)+\log\left(\left(xy^{\frac{1}{2}}\right)^{2}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-6}y^{-\frac{1}{3}}\right)+\log\left(x^{2}y\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-6}y^{-\frac{1}{3}}x^{2}y\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-4}y^{\frac{2}{3}}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{4}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{\sqrt[3]{y^{2}}}{x^{4}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{\sqrt[3]{y^{2}}}{x^{4}}\right)$$

Nouvel exemple