Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-3\log\left(y\right)+\log\left(x^{-1}y^{2}z^{3}\right)+2\log\left(x^{5}y^{3}z^{3}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(y\right)^{-3}\right)+\log\left(x^{-1}y^{2}z^{3}\right)+\log\left(\left(x^{5}y^{3}z^{3}\right)^{2}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(y^{-3}\right)+\log\left(x^{-1}y^{2}z^{3}\right)+\log\left(x^{10}y^{6}z^{6}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(y^{-3}x^{-1}y^{2}z^{3}\right)+\log\left(x^{10}y^{6}z^{6}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-1}y^{-1}z^{3}\right)+\log\left(x^{10}y^{6}z^{6}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-1}y^{-1}z^{3}x^{10}y^{6}z^{6}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{9}y^{5}z^{9}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(x^{9}y^{5}z^{9}\right)$$

Nouvel exemple