Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{1}{x^{5}y^{5}}\right)+\dfrac{1}{4}\log\left(\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{y^{2}}\right)$$Ensuite, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$\log\left(x^{-5}y^{-5}\right)+\dfrac{1}{4}\log\left(x^{\frac{5}{2}}y^{-2}\right)$$Dès lors, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(x^{-5}y^{-5}\right)+\log\left(\left(x^{\frac{5}{2}}y^{-2}\right)^{\frac{1}{4}}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-5}y^{-5}\right)+\log\left(x^{\frac{5}{8}}y^{-\frac{1}{2}}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-5}y^{-5}x^{\frac{5}{8}}y^{-\frac{1}{2}}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{35}{8}}y^{-\frac{11}{2}}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{1}{x^{\frac{35}{8}}y^{\frac{11}{2}}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{1}{\sqrt[8]{x^{35}}\sqrt{y^{11}}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{1}{\sqrt[8]{x^{35}}\sqrt{y^{11}}}\right)$$

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