Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{x^{2}}{y^{3}}\right)+5\log\left(\dfrac{x^{2}z^{4}}{y^{\frac{5}{3}}}\right)$$Ensuite, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$\log\left(x^{2}y^{-3}\right)+5\log\left(x^{2}y^{-\frac{5}{3}}z^{4}\right)$$Dès lors, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(x^{2}y^{-3}\right)+\log\left(\left(x^{2}y^{-\frac{5}{3}}z^{4}\right)^{5}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{2}y^{-3}\right)+\log\left(x^{10}y^{-\frac{25}{3}}z^{20}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{2}y^{-3}x^{10}y^{-\frac{25}{3}}z^{20}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{12}y^{-\frac{34}{3}}z^{20}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{x^{12}z^{20}}{y^{\frac{34}{3}}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{x^{12}z^{20}}{\sqrt[3]{y^{34}}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{x^{12}z^{20}}{\sqrt[3]{y^{34}}}\right)$$

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