Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-5\log\left(x^{-3}y^{-4}z\right)-\dfrac{1}{5}\log\left(xy^{6}z^{3}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{-3}y^{-4}z\right)^{-5}\right)-\log\left(\left(xy^{6}z^{3}\right)^{\frac{1}{5}}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{15}y^{20}z^{-5}\right)-\log\left(x^{\frac{1}{5}}y^{\frac{6}{5}}z^{\frac{3}{5}}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{15}y^{20}z^{-5}}{x^{\frac{1}{5}}y^{\frac{6}{5}}z^{\frac{3}{5}}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{\frac{74}{5}}y^{\frac{94}{5}}z^{-\frac{28}{5}}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{x^{\frac{74}{5}}y^{\frac{94}{5}}}{z^{\frac{28}{5}}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{\sqrt[5]{x^{74}}\sqrt[5]{y^{94}}}{\sqrt[5]{z^{28}}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{\sqrt[5]{x^{74}}\sqrt[5]{y^{94}}}{\sqrt[5]{z^{28}}}\right)$$

Nouvel exemple