Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$-2\log\left(\dfrac{z^{3}}{x^{3}y^{\frac{2}{3}}}\right)+3\log\left(\dfrac{x^{2}y^{6}}{z^{2}}\right)$$Ensuite, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-2\log\left(x^{-3}y^{-\frac{2}{3}}z^{3}\right)+3\log\left(x^{2}y^{6}z^{-2}\right)$$Dès lors, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{-3}y^{-\frac{2}{3}}z^{3}\right)^{-2}\right)+\log\left(\left(x^{2}y^{6}z^{-2}\right)^{3}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{6}y^{\frac{4}{3}}z^{-6}\right)+\log\left(x^{6}y^{18}z^{-6}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{6}y^{\frac{4}{3}}z^{-6}x^{6}y^{18}z^{-6}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{12}y^{\frac{58}{3}}z^{-12}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{x^{12}y^{\frac{58}{3}}}{z^{12}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{x^{12}\sqrt[3]{y^{58}}}{z^{12}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{x^{12}\sqrt[3]{y^{58}}}{z^{12}}\right)$$

Nouvel exemple