Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$-3\log\left(x^{2}y^{3}\right)-\dfrac{1}{3}\log\left(\right)+\dfrac{1}{2}\log\left(x^{-5}y^{-4}\right)$$Ensuite, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{2}y^{3}\right)^{-3}\right)-\log\left(\left(\right)^{\frac{1}{3}}\right)+\log\left(\left(x^{-5}y^{-4}\right)^{\frac{1}{2}}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-6}y^{-9}\right)-\log\left(\right)+\log\left(x^{-\frac{5}{2}}y^{-2}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-6}y^{-9}}{}\right)+\log\left(x^{-\frac{5}{2}}y^{-2}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-6}y^{-9}\right)+\log\left(x^{-\frac{5}{2}}y^{-2}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-6}y^{-9}x^{-\frac{5}{2}}y^{-2}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{17}{2}}y^{-11}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{1}{x^{\frac{17}{2}}y^{11}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^{17}}y^{11}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^{17}}y^{11}}\right)$$

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