Exponentielles et logarithmes

Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$5\log\left(\dfrac{1}{x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{5}{2}}}\right)-5\log\left(\dfrac{x}{y^{4}}\right)-5\log\left(\dfrac{y}{x}\right)$$Ensuite, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$5\log\left(x^{-\frac{2}{3}}y^{-\frac{5}{2}}\right)-5\log\left(xy^{-4}\right)-5\log\left(x^{-1}y\right)$$Dès lors, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{-\frac{2}{3}}y^{-\frac{5}{2}}\right)^{5}\right)-\log\left(\left(xy^{-4}\right)^{5}\right)-\log\left(\left(x^{-1}y\right)^{5}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{10}{3}}y^{-\frac{25}{2}}\right)-\log\left(x^{5}y^{-20}\right)-\log\left(x^{-5}y^{5}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-\frac{10}{3}}y^{-\frac{25}{2}}}{x^{5}y^{-20}}\right)-\log\left(x^{-5}y^{5}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{25}{3}}y^{\frac{15}{2}}\right)-\log\left(x^{-5}y^{5}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{-\frac{25}{3}}y^{\frac{15}{2}}}{x^{-5}y^{5}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-\frac{10}{3}}y^{\frac{5}{2}}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{10}{3}}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{\sqrt{y^{5}}}{\sqrt[3]{x^{10}}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{\sqrt{y^{5}}}{\sqrt[3]{x^{10}}}\right)$$

Nouvel exemple