Exponentielles et logarithmes

Objectif 4

Utiliser les propriétés des logarithmes et des puissances pour simplifier une expression.$$2\log\left(x^{3}\right)-6\log\left(\dfrac{x^{4}}{y}\right)+5\log\left(x^{3}\sqrt[3]{y^{4}}\right)= \log(?)$$

Nouvel exemple

Tout d'abord, on peut transformer les racines en puissances en utilisant que \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$2\log\left(x^{3}\right)-6\log\left(\dfrac{x^{4}}{y}\right)+5\log\left(x^{3}y^{\frac{4}{3}}\right)$$Ensuite, on peut réécrire les arguments des logarithmes avec uniquement des multiplications de monômes en utilisant que \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\) :$$2\log\left(x^{3}\right)-6\log\left(x^{4}y^{-1}\right)+5\log\left(x^{3}y^{\frac{4}{3}}\right)$$Dès lors, on peut intégrer les coefficients des logarithmes dans les arguments en utilisant que \(p\log(a)=\log(a^p)\) :$$\log\left(\left(x^{3}\right)^{2}\right)-\log\left(\left(x^{4}y^{-1}\right)^{6}\right)+\log\left(\left(x^{3}y^{\frac{4}{3}}\right)^{5}\right)$$En simplifiant les puissances via la relation \((a^p)^q=a^{pq}\), on obtient :$$\log\left(x^{6}\right)-\log\left(x^{24}y^{-6}\right)+\log\left(x^{15}y^{\frac{20}{3}}\right)$$On peut ensuite regrouper les deux premiers logarithmes en utilisant la propriété \(\log(a)-\log(b)=\log\left(\frac{a}{b}\right)\) :$$\log\left(\dfrac{x^{6}}{x^{24}y^{-6}}\right)+\log\left(x^{15}y^{\frac{20}{3}}\right)$$En utilisant la propriété \(\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-18}y^{6}\right)+\log\left(x^{15}y^{\frac{20}{3}}\right)$$On peut faire de même avec les deux logarithmes restant en utilisant la propriété \(\log(a)+\log(b)=\log\left(a\cdot b\right)\) :$$\log\left(x^{-18}y^{6}x^{15}y^{\frac{20}{3}}\right)$$En utilisant la propriété \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\), on obtient :$$\log\left(x^{-3}y^{\frac{38}{3}}\right)$$Pour terminer, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances positives en utilisant \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\) :$$\log\left(\dfrac{y^{\frac{38}{3}}}{x^{3}}\right)$$Finalement, on peut réécrire l'argument du logarithme avec uniquement des puisances et racines entières en utilisant \(\sqrt[p]{a} = a^{1/p}\) :$$\log\left(\dfrac{\sqrt[3]{y^{38}}}{x^{3}}\right)$$La réponse finale est donc :$$\log\left(\dfrac{\sqrt[3]{y^{38}}}{x^{3}}\right)$$

Nouvel exemple

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