Exponentielles et logarithmes

On remarque tout d'abord que \(6^{8x} = \left(6^{4x}\right)^2\). Ainsi, la variable \(x\) apparaît toujours dans la puissance de 6 dans notre équation, ce qui nous permet de poser \(y = 6^{4x}\). L'équation se réécrit alors :$$ -41 y+72 = -4 y^{2} $$On peut ensuite regrouper tous les termes du même côté : $$\begin{array}{rcl|l} -41 y+72 & = & -4 y^{2} & +4 y^{2}\\ 4y^{2}-41y+72 & = & 0 & \end{array}$$Il s'agit d'une équation du deuxième degré que l'on peut résoudre par sa méthode préférée. Résolvons ici l'équation par factorisation : $$ (y-8)(4y-9)=0 $$Les solutions sont donc : $$ y = 8 \quad ; \quad y = \dfrac{9}{4} $$Comme \(y = 6^{4x}\), on en déduit : $$ 6^{4x} = 8 \quad ; \quad 6^{4x} = \dfrac{9}{4} $$La première équation obtenue peut être résolue ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 6^{4x} & = & 8 & \log(...)\\ \log\left(6^{4x}\right) & = & \log\left(8\right) & \log(b^a) = a \log(b)\\4x \log\left(6\right) & = & \log\left(8\right) & :\left(4\log\left(6\right)\right)\\ x & = & \dfrac{\log\left(8\right)}{4\log\left(6\right)} & \text{Calculatrice}\\ x & \cong & 0.29 & \end{array}$$La seconde équation obtenue peut être résolue ainsi : $$\begin{array}{rcl|l} 6^{4x} & = & \dfrac{9}{4} & \log(...)\\ \log\left(6^{4x}\right) & = & \log\left(\dfrac{9}{4}\right) & \log(b^a) = a \log(b)\\4x \log\left(6\right) & = & \log\left(\dfrac{9}{4}\right) & :\left(4\log\left(6\right)\right)\\ x & = & \dfrac{\log\left(9/4\right)}{4\log\left(6\right)} & \text{Calculatrice}\\ x & \cong & 0.113 & \end{array}$$Les deux solutions de l'équation initiale sont donc : $$ x_1 \cong 0.29\quad ; \quad x_2 \cong 0.113$$

Nouvel exemple