Exponentielles et logarithmes

Comme le logarithme est défini que pour un argument positif, on en déduit tout d'abord que si une solution \(x\) existe, elle doit satisfaire : $$ 7x+7>0 \quad \text{et} \quad 2x-2>0 $$Pour enlever les logarithmes en base 10, il faudra appliquer l'oppération inverse qui est \(10^{(...)}\). Cependant, il faut déjà qu'il n'y ait qu'un seul logarithme de chaque côté. On peut utiliser les propriétés des logarithmes à cet effet$$\begin{array}{rcl|l} \log_{}\left(7x+7\right) - \log_{}(7) & = & -\log_{}\left(2x-2\right) + \log_{}(3) & \text{Propriétés log}\\\log_{}\left(\dfrac{7x+7}{7}\right) & = & \log_{}\left(\dfrac{3}{2x-2}\right) & 10^{(...)}\\\dfrac{7x+7}{7} & = & \dfrac{3}{2x-2} & \cdot(7)\cdot(2x-2)\\ \left(7x+7\right)\left(2x-2\right) & = & 7\cdot3 & \text{Distributivité}\\ 14x^2-14 & = & 21 & -21\\14x^2-35 & = & 0 & \end{array}$$Il s'agit d'une équation du deuxième degré que l'on peut résoudre par sa méthode préféré, par exemple en utilisant la formule de Viète : $$\Delta = (0)^2-4(14)(-35) = 1960 \geq 0 $$ $$ \Rightarrow x = \dfrac{-(0)\pm \sqrt{1960}}{2(14)} $$On obtient ainsi deux solutions : $$ x_1 \cong -1.58 \quad ; \quad x_2 \cong 1.58 $$ Rappelons comme constaté tout au début que la valeur de \(x\) doit satisfaire les expressions suivantes pour que les valeurs des logarithmes existent :$$ 7x+7>0 \quad \text{et} \quad 2x-2 >0 $$ On constate pour \(x_1\) :$$ 7\left(-1.58\right)+7<0 $$ Ainsi la solution \(x_1\) n'est pas compatible avec l'équation de départ. Pour \(x_2\) :$$ 7\left(1.58\right)+7>0 \quad \text{et} \quad 2\left(1.58\right)-2>0 $$Ainsi la solution \(x_2\) est compatible avec l'équation de départ. La solution finale est donc : $$ x \cong 1.58 $$

Nouvel exemple