Résoudre des équations plus complexes faisant intervenir des fonctions exponentielles ou logarithmiques, nécessitant d'utiliser les propriétés des logarithmes, d'effectuer une substitution, de résoudre des équations du deuxième degré, de vérifier l'existence des solutions, etc. La calculatrice est autorisée, en revanche seule la touche \(\log\) (en base 10 donc) peut être utilisée pour calculer des logarithmes.$$ \log_{8}\left(8x+1\right) - \log_{8}(5) = -\log_{8}\left(-5x+8\right) + \log_{8}(9)$$
Comme le logarithme est défini que pour un argument positif, on en déduit tout d'abord que si une solution \(x\) existe, elle doit satisfaire : $$ 8x+1>0 \quad \text{et} \quad -5x+8>0 $$Pour enlever les logarithmes en base 8, il faudra appliquer l'oppération inverse qui est \(8^{(...)}\). Cependant, il faut déjà qu'il n'y ait qu'un seul logarithme de chaque côté. On peut utiliser les propriétés des logarithmes à cet effet$$\begin{array}{rcl|l} \log_{8}\left(8x+1\right) - \log_{8}(5) & = & -\log_{8}\left(-5x+8\right) + \log_{8}(9) & \text{Propriétés log}\\\log_{8}\left(\dfrac{8x+1}{5}\right) & = & \log_{8}\left(\dfrac{9}{-5x+8}\right) & 8^{(...)}\\\dfrac{8x+1}{5} & = & \dfrac{9}{-5x+8} & \cdot(5)\cdot(-5x+8)\\ \left(8x+1\right)\left(-5x+8\right) & = & 5\cdot9 & \text{Distributivité}\\ -40x^2+59x+8 & = & 45 & -45\\-40x^2+59x-37 & = & 0 & \end{array}$$Il s'agit d'une équation du deuxième degré que l'on peut résoudre par sa méthode préféré, par exemple en utilisant la formule de Viète : $$\Delta = (59)^2-4(-40)(-37) = -2439 <0 $$ $$ \Rightarrow x \in \emptyset $$
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